运算方法和运算器 _ 定点运算
移位运算
移位：通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权。
目的： 移位运算很常见，比如进制转化：15 m = 1500 cm，在计算机中，移位与加减法配合能够实现乘除法运算
在计算机中，移位运算分为两种：
- 逻辑移位：无符号数的移位运算
- 算数移位：有符号数的移位运算
对于移位运算，需要注意两个问题：
1.移位运算的现实意义和机器意义不一样：
- 现实意义： 小数点右移2位（小数点动）
- 机器用语 15相对于小数点 左移2位（小数点不动，数字移动）
因此对于机器：\(左移=绝对值扩大，右移=绝对值缩小\)
2.移位运算必然带来数据的丢失和缺失。
- 丢失的位可能会影响精度，甚至会导致算数出错，（不可避免）
- 对于缺失的位需要进行填充合适的数据，以达到运算正确。
下面针对不同的编码方式进行分类讨论：
逻辑移位
无符号数的移位称为 逻辑移位。
对于逻辑移位数据的丢失和缺失都很显然：
- 如果左移丢失1，算数将出错；如果右移丢失1，将影响精度。
- 无论是左移还是右移，都应在空缺位置填0。
算数移位
有符号数的移位称为 算术移位。
显然移位运算不可能改变符号，因此对于所有的编码方式 符号位均不参与移位。
原码
对与原码，只看数值位，规则应和 逻辑位移 相同：
- 如果左移丢失1，算数将出错；如果右移丢失1，将影响精度。
- 符号位不参与移位，左移、右移都补0。
反码和补码
反码和原码的差别就是:在负数时,反码是原码的取反，因此反码的规则应是：
- 符号位不参与移位；
- 正数时：左移、右移都补0；
- 负数时：左移、右移都补1。
补码正数和原码相同，负数是反码+1（补码最低位与原码一致，其余位与反码一致），因此补码的规则应是：
- 符号位不参与移位；
- 正数时：左移、右移都补0；
- 负数时：左移补0、右移都补1。
规则小结
- 无论什么编码方式，符号位均不变
- 填补代码规则如下：
例子： 设机器数字长为8位（含1位符号位），写出A=+26时，三种机器数左、右移一位和两位的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。
解：
A=+26=+11010
原码补码反码相同=0，0011010
定点加减法
补码加减法
引入补码的原因就是为了方便加法运算，因此加减法运算只学习补码的加减法。
补码的主要作用:两个 有符号数可以直接连同符号位一起相加，就可以得到正确的答案(符号位产生的进位自然丢掉)。
也就是：对于任何数，\([x]_补 + [y]_补 = [x+y]_补\)
点击查看证明
假设采用定点整数表示，
因此证明的先决条件是：
\(|x|≤2^n－1；|y|≤2^n－1；|x+y|≤2^n－1\)
分四种情况来证明
(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,则ｘ＋ｙ﹥0
\([x]_补=x, [y]_补=y, [x+y]_补=x+y\)
所以等式成立.
(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0
\([x]_补=x, [y]_补=2^{n+1}+y\),
\([x]_补＋[y]_补=x+ 2^{n+1}+y =2^{n+1}+ x+ y= [x＋y]_补\)
(3)ｘ<0,ｙ>0,则ｘ＋ｙ>0或 ｘ＋ｙ<0
这种情况和第2种情况一样,把x和y的位置对调即得证。
(4)ｘ<0,ｙ<0,则ｘ＋ｙ<0
(相加两数都是负数,则其和也一定是负数。)
∵\([x]_补=2^{n+1}+x, [y]_补=2^{n+1}+y\)
∴\([x]_补＋[y]_补\)
\(＝2^{n+1}+x＋2^{n+1}+y\)
\(=2^{n+1}＋(2^{n+1}+x+y)\)
\(= [x＋y]_补\)
对于减法： A-B=A+(-B) 可以转化为加法来做。
即：\([A-B]_补=[A+(-B)]_补=[A]_补+[-B]_补\)
\([-B]_补 ： [B]_补\)连同符号位一起取反加1
点击查看证明
根据上述的公式来计算一道题：
A =15, B =-24, C = 124，求[A+C]补和[B−C]补
\(A = +1111 \to 0,1111 \to 0,0001111\)（补码）
\(B = -11000 \to 1,01000 \to 1,1101000\)(补码)
\([C]_补=0,1111100\)，\([-C]_补=1,0000100\)
[A+C]补 = 0,0001111 + 0,1111100 = 1,0001011 真值-117
[B−C]补 = 1,1101000 + 1,0000100 =10,1101100 真值+108
显然都不对，这就是溢出。
对上面例子简单分析下，会发现溢出的情况就是：
- 两个正数，符号位为0；但是数值位却发生了进位，使符号位变成1.
- 两个负数，符号位为1；但是数值位却未发生进位，使符号位还是0.
溢出检测
溢出
在定点整数机器中，数的表示范围 \(|x|≤2^n－1\)。在运算过程中，如出现大于字长绝对值的现象，称为“溢出”。
有两种溢出的情况：
- 两正数加，变负数，上溢（大于机器所能表示的最大数）
- 两负数加，变正数，下溢（小于机器所能表示的最小数）
溢出会导致算数出错，因此必须要判断是否溢出。常见的溢出检测方法有两种：
在定点机中，当运算结果发生溢出时表示出错，机器通过逻辑电路自动检查出这种溢出，并进行中断处理。
单符号位法
单符号位法就是对上述分析的两种情况的符号化。
公式：\(V=C_f ⊕ C_0\) ，
- \(C_f\)为符号位产生的进位
- \(C_0\)为最高有效位产生的进位
也就是：
\(C_f\) \(C_0\)
0 0 正确
0 1 正溢
1 0 负溢
1 1 正确
双符号位法（常用）
规则：
- 符号位占两位，00表示正数，11表示负数。
- 两符号位都参加运算
- 最高符号位上产生的进位要丢掉。
例如：\([A+B]_补\) = 00,0001111 + 11,1101000 = 11,1110111
判断溢出逻辑表达式： 记\(S_{f1}\)为最高符号位。；\(S_{f2}\)为第二符号位，则\(V=S_{f1} ⊕ S_{f2}\)
若V=0，表示无溢出；若V=1，表示有溢出。
全部情况如下：
\(S_{f1}\) \(S_{f2}\)
0 0 正确（正数）
0 1 正溢
1 0 负溢
1 1 正确（负数）
主要注意两点：
- 不论溢出与否，\(S_{f1}\) 始终表示正确的符号， 低位符号位参与移位
- 实际存储时存储单符号位，运算时转化成双符号位。
原码 定点乘法
对于一个乘法，笔算过程如下：
显然，如果计算使用该方法需要使用4个小的寄存器存放临时结果，还需要一个大的寄存器存放最终结果。很浪费资源，且需要寄存器数量不固定，因此需要优化。
笔算乘法的改进： 我们可以将笔算过程抽象成如下固定步骤。
运算步骤
（一）、符号部分 符号单独处理,判断符号方法略。
（二）、数值部分
-
部分积开始为0
-
每次看乘数最后一位是1还是0
如果乘数该位是1：
部分积先右移，然后将溢出的数据放到乘数前面，最后加上被乘数
乘数右移
如果乘数该位是0：
部分积先右移，然后将溢出的数据放到乘数前面，最后加上0
乘数右移 -
运算完所有位数后，再右移一次（溢出位需要放到乘数前）
-
答案就是： 部分积（拼接）乘数
机器过程
上面过程在计算机中，实际过程就是：（ACC存放部分积；MQ存放当前乘数，用于获取乘数最低位）
（一）、符号部分 符号单独处理,判断符号方法略。
（二）、数值部分
-
ACC开始为0
-
每次看MQ最后一位是1还是0
若该位是1：
ACC+=被乘数，将结果放入ACC,将ACC右移（部分积右移），将MQ右移且将ACC移走的低位放入MQ最高位（将乘数右移，使最低位移动）。
若该位是0：
ACC+=0，将结果放入ACC，将ACC右移（部分积右移），将MQ右移且将ACC移走的低位放入MQ最高位（将乘数右移，使最低位移动）。 -
运算完所有位数后，再右移一次（溢出位需要放到乘数前）
-
答案就是： ACC拼接MQ的数
例：
定点除法（不考）
笔算除法
商符单独处理
心算上商
余数不动低位补“0”
减右移一位的余数
上商位置不固定
机器除法
符号位异或形成
|x|-|y|>0 上商1
|x|-|y|<0 上商0
余数左移一位 低位补“0”减除数
1倍字长加法器
恢复余数法
说明
先看被除数和除数谁大
-
如果被除数大：
-
如果除数大：
-
每次减去除数
-
如果结果为正数，则直接左移，上商1
-
如果结果为负数，则加上除数恢复原数，再左移，上商0
例子
不恢复余数法
不恢复余数法运算规则：加减交替法
被除数或余数 减 除数(比较大小):
-
结果为正,商上1,左移一位,减除数,
-
结果为负,商上0,左移一位,加除数.
重复上述操作n+1次。
特点
- 上商n+1次
- 第一次上商判溢出
- 移n次,加n+1次
- 用移位的次数判断除法是否结束
例子：
结果：
符号位： \(x_0 \bigoplus y_0 =1 \bigoplus 1 = 0\)
数值部分：按绝对值相除
\(\frac{x^*}{y^*}=0.1101\)，则\([\frac{x}{y}]_原 =0.1101\)
逻辑运算
逻辑非运算（求反 \(\overline{x}\)）
（求反，按位求反，常用变量上方加一横来表示)
按位取反，原来是“0”的位变为“1”；原来是“1”的位变为“0”
非门
[例24] x1=01001011 , x2=11110000 , 求 \(\overline{x1} , \overline{x2}\)
x1 = 10110100
x2 = 00001111
逻辑或运算(逻辑加“+”)
只要相“或”的两位有一位是1，结果就是1；否则结果为0
一般用来“
或门
[例25] x=10100001 , y=10011011 , 求 x+y
解：
1 0 1 0 0 0 0 1 x
＋ 1 0 0 1 1 0 1 1 y
————————————
1 0 1 1 1 0 1 1 z
即 x+y = 10111011
逻辑与运算(逻辑乘 “.”)
只有相“与”的两位都是1，结果才是1；
否则“与”的结果为0
一般用来：把某些位清零。
与门
[例26] x=10111001 , y=11110011 , 求 x.y
解：
1 0 1 1 1 0 0 1 x
1 1 1 1 0 0 1 1 y
————————————
1 0 1 1 0 0 0 1 z
即 x·y = 10110001
逻辑异或运算 (“ ⊕ ”)
只有相“异或”的两位不相同，结果才是1；否则结果为0
作用
欲取反的位与“1”异或，
欲保留的位与“0”异或。
异或门
[例27] x=10101011 , y=11001100 , 求 x ⊕ y
解：
1 0 1 0 1 0 1 1 x
⊕ 1 1 0 0 1 1 0 0 y
————————————
0 1 1 0 0 1 1 1 z
即 x⊕y = 01100111
