运算方法和运算器 _ 定点运算

移位运算

移位：通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权。
目的： 移位运算很常见，比如进制转化：15 m = 1500 cm，在计算机中，移位与加减法配合能够实现乘除法运算

在计算机中，移位运算分为两种：

逻辑移位：无符号数的移位运算
算数移位：有符号数的移位运算

对于移位运算，需要注意两个问题：
1.移位运算的现实意义和机器意义不一样：

现实意义：小数点右移2位（小数点动）
机器用语 15相对于小数点左移2位（小数点不动，数字移动）

因此对于机器：\(左移=绝对值扩大，右移=绝对值缩小\)

2.移位运算必然带来数据的丢失和缺失。

丢失的位可能会影响精度，甚至会导致算数出错，（不可避免）
对于缺失的位需要进行填充合适的数据，以达到运算正确。

下面针对不同的编码方式进行分类讨论：

逻辑移位

无符号数的移位称为逻辑移位。
对于逻辑移位数据的丢失和缺失都很显然：

如果左移丢失1，算数将出错；如果右移丢失1，将影响精度。
无论是左移还是右移，都应在空缺位置填0。

算数移位

有符号数的移位称为算术移位。
显然移位运算不可能改变符号，因此对于所有的编码方式 符号位均不参与移位。

原码

对与原码，只看数值位，规则应和逻辑位移相同：

如果左移丢失1，算数将出错；如果右移丢失1，将影响精度。
符号位不参与移位，左移、右移都补0。

反码和补码

反码和原码的差别就是:在负数时,反码是原码的取反，因此反码的规则应是：

符号位不参与移位；
正数时：左移、右移都补0；
负数时：左移、右移都补1。

补码正数和原码相同，负数是反码+1（补码最低位与原码一致，其余位与反码一致），因此补码的规则应是：

符号位不参与移位；
正数时：左移、右移都补0；
负数时：左移补0、右移都补1。

规则小结

无论什么编码方式，符号位均不变
填补代码规则如下：

例子： 设机器数字长为8位（含1位符号位），写出A=+26时，三种机器数左、右移一位和两位的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。
解：
A=+26=+11010
原码补码反码相同=0，0011010

定点加减法

补码加减法

引入补码的原因就是为了方便加法运算，因此加减法运算只学习补码的加减法。

补码的主要作用:两个有符号数可以直接连同符号位一起相加，就可以得到正确的答案(符号位产生的进位自然丢掉)。
也就是：对于任何数，\([x]_补 + [y]_补 = [x+y]_补\)

点击查看证明

假设采用定点整数表示，
因此证明的先决条件是：
\(|x|≤2^n－1；|y|≤2^n－1；|x+y|≤2^n－1\)

分四种情况来证明
(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,则ｘ＋ｙ﹥0
\([x]_补=x, [y]_补=y, [x+y]_补=x+y\)
所以等式成立.

(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0
\([x]_补=x, [y]_补=2^{n+1}+y\),
\([x]_补＋[y]_补=x+ 2^{n+1}+y =2^{n+1}+ x+ y= [x＋y]_补\)

(3)ｘ<0,ｙ>0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0
这种情况和第2种情况一样,把x和y的位置对调即得证。

(4)ｘ<0,ｙ<0,则ｘ＋ｙ<0
(相加两数都是负数,则其和也一定是负数。)
∵\([x]_补=2^{n+1}+x,　　　[y]_补=2^{n+1}+y\)
∴\([x]_补＋[y]_补\)
\(＝2^{n+1}+x＋2^{n+1}+y\)
\(=2^{n+1}＋(2^{n+1}+x+y)\)
\(= [x＋y]_补\)

对于减法： A-B=A+(-B) 可以转化为加法来做。
即：\([A-B]_补=[A+(-B)]_补=[A]_补+[-B]_补\)
\([-B]_补： [B]_补\)连同符号位一起取反加1

点击查看证明

根据上述的公式来计算一道题：

A =15, B =-24, C = 124，求[A+C]补和[B−C]补
\(A = +1111 \to 0,1111 \to 0,0001111\)（补码）
\(B = -11000 \to 1,01000 \to 1,1101000\)(补码)
\([C]_补=0,1111100\)，\([-C]_补=1,0000100\)
[A+C]补 = 0,0001111 + 0,1111100 = 1,0001011 真值-117
[B−C]补 = 1,1101000 + 1,0000100 =10,1101100 真值+108

显然都不对，这就是溢出。
对上面例子简单分析下，会发现溢出的情况就是：

两个正数，符号位为0；但是数值位却发生了进位，使符号位变成1.
两个负数，符号位为1；但是数值位却未发生进位，使符号位还是0.

溢出检测

溢出
在定点整数机器中，数的表示范围 \(|x|≤2^n－1\)。在运算过程中，如出现大于字长绝对值的现象，称为“溢出”。

有两种溢出的情况：

两正数加，变负数，上溢（大于机器所能表示的最大数）
两负数加，变正数，下溢（小于机器所能表示的最小数）

溢出会导致算数出错，因此必须要判断是否溢出。常见的溢出检测方法有两种：

在定点机中，当运算结果发生溢出时表示出错，机器通过逻辑电路自动检查出这种溢出，并进行中断处理。

单符号位法

单符号位法就是对上述分析的两种情况的符号化。

公式：\(V=C_f ⊕ C_0\) ，

\(C_f\)为符号位产生的进位
\(C_0\)为最高有效位产生的进位

也就是：
\(C_f\) \(C_0\)
0　 0　正确
0　 1　正溢
1　 0　负溢
1　 1　正确

双符号位法（常用）

规则：

符号位占两位，00表示正数，11表示负数。
两符号位都参加运算
最高符号位上产生的进位要丢掉。

例如：\([A+B]_补\) = 00,0001111 + 11,1101000 = 11,1110111

判断溢出逻辑表达式： 记\(S_{f1}\)为最高符号位。；\(S_{f2}\)为第二符号位，则\(V=S_{f1} ⊕ S_{f2}\)
若V=0，表示无溢出；若V=1，表示有溢出。

全部情况如下：
\(S_{f1}\) \(S_{f2}\)
0　 0 　　正确（正数）
0　 1 　　正溢
1　 0 　　负溢
1　 1 　　正确（负数）

主要注意两点：

不论溢出与否，\(S_{f1}\) 始终表示正确的符号， 低位符号位参与移位
实际存储时存储单符号位，运算时转化成双符号位。

原码定点乘法

对于一个乘法，笔算过程如下：

显然，如果计算使用该方法需要使用4个小的寄存器存放临时结果，还需要一个大的寄存器存放最终结果。很浪费资源，且需要寄存器数量不固定，因此需要优化。

笔算乘法的改进： 我们可以将笔算过程抽象成如下固定步骤。

运算步骤

（一）、符号部分 符号单独处理,判断符号方法略。
（二）、数值部分

部分积开始为0
每次看乘数最后一位是1还是0
如果乘数该位是1：
部分积先右移，然后将溢出的数据放到乘数前面，最后加上被乘数
乘数右移
如果乘数该位是0：
部分积先右移，然后将溢出的数据放到乘数前面，最后加上0
乘数右移
运算完所有位数后，再右移一次（溢出位需要放到乘数前）
答案就是：部分积（拼接）乘数

机器过程

上面过程在计算机中，实际过程就是：（ACC存放部分积；MQ存放当前乘数，用于获取乘数最低位）
（一）、符号部分 符号单独处理,判断符号方法略。
（二）、数值部分

ACC开始为0
每次看MQ最后一位是1还是0
若该位是1：
ACC+=被乘数，将结果放入ACC,将ACC右移（部分积右移），将MQ右移且将ACC移走的低位放入MQ最高位（将乘数右移，使最低位移动）。
若该位是0：
ACC+=0，将结果放入ACC，将ACC右移（部分积右移），将MQ右移且将ACC移走的低位放入MQ最高位（将乘数右移，使最低位移动）。
运算完所有位数后，再右移一次（溢出位需要放到乘数前）
答案就是： ACC拼接MQ的数