博弈论 _ SG函数

定义

SG函数是指：在有向图中，对于每个节点x，设从 \(x\) 出发共有\(k\)条有向边（直接相连的边），分别达到节点\(y_1，y_2……y_k\)，
定义\(SG(x)\)为\(x\)的后继节点的\(SG\)值构成的集合执行\(mex()\)运算后的值

\(mex()：\)设集合S是一个非负整数集合，mex(S)就是求不属于S的最小非负整数。

例如下图：

性质及定理

性质：

1. SG(i)=k，则i最大能到达的点的SG值为k−1。
2. 非0可以走向0
3. 0只能走向非0

定理1：同一个图上
对于一个图GG，如果SG(G)!=0，则先手必胜，反之必败

证明：
若SG(G)=!0
1.根据性质2，先手必可以走向0，
2.因此留给后手的是0，根据性质3，后手只能走向非0
3.以此类推，后手始终无法走向0，后手永远处于非0，当先手到达终点的0时，先手获胜
（由此我们可以知道，有些事是命中注定的~~~）
反之同理，必败

定理2：不同图之间
对于n个图，如果\(SG(G1) ^ SG(G2) ^ … SG(Gn)!=0\),则先手必胜，反之必败

证明（类似与Nim游戏）：

1. 当\(SG(Gi)=0\) 时 ， \(xor=0\)， 显然先手必败
   （PS：结束状态必是状态①，但状态①不一定是结束状态）

2. 当\(xor=x!=0\) 时，因为肯定存在一个\(SG(xi)^x <SG(xi)\),而根据\(SG()\)的性质1可知，\(SG(k)\)可以走到\(0−k−1\)的任何一个状态，
   因此，必定可以从 \(SG(xi)−>SG(xi)^x\) ， 于是使得\(xor=0\)

3. 当\(xor=0\)时，当移动任何一个节点时，对应的\(SG\)值必然减小，可以证明：\(xor!=0\)
   下证：\(xor!=0\)
   假设:xor=0xor=0,则说明移动的那个节点的值并没有变化，即从\(SG(k)\)变成了kk，但是这与\(SG\)函数的性质1相矛盾，因此不成立

证得：若先手面对的状态是\(xor!=0\),则先手方总能使\(xor=0\)，即使后手面对的永远是必败态直到结束状态1 ，因此先手必胜！
反之，必败！

模板代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pdd pair<double ,double >

using namespace std;
const int N = 110, M = 10010;
int n,m;
int s[N], f[M];
int sg(int x){
  if(f[x]!=-1) return f[x];

  unordered_set<int> S;
  for(int i=0;i<n;i++)
  //如果可以减去s[i]，则添加到S中
    if(x>=s[i]) S.insert(sg(x-s[i]));

  //求mex()，即找到最小并不在原集合中的数
  for(int i=0; ; i++)
    if(!S.count(i)) return f[x]=i;
}
void solve(){
   cin>>n;
   for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i];
   memset(f,-1,sizeof f);
   cin>>m;
   int ans=0;
   while(m--){
    int x;cin>>x;
    ans^=sg(x);
   }
   if(ans) puts("Yes");
   else puts("No");
} 

signed main(){
  int t=1;
  // cin>>t;
  while(t--)
  solve();
  return 0;
}

模板题

893. 集合-Nim游戏

题意
给定 n 堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 S。

现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入样例

2
2 5
3
2 4 7

输出样例

Yes

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pdd pair<double ,double >

using namespace std;
const int N = 110, M = 10010;
int n,m;
int s[N], f[M];
int sg(int x){
  if(f[x]!=-1) return f[x];

  unordered_set<int> S;
  for(int i=0;i<n;i++)
  //如果可以减去s[i]，则添加到S中
    if(x>=s[i]) S.insert(sg(x-s[i]));

  //求mex()，即找到最小并不在原集合中的数
  for(int i=0; ; i++)
    if(!S.count(i)) return f[x]=i;
}
void solve(){
   cin>>n;
   for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i];
   memset(f,-1,sizeof f);
   cin>>m;
   int ans=0;
   while(m--){
    int x;cin>>x;
    ans^=sg(x);
   }
   if(ans) puts("Yes");
   else puts("No");
} 

signed main(){
  int t=1;
  cin>>t;
  while(t--)
  solve();
  return 0;
}

作者：Anoxia_3
链接：https://www.acwing.com/solution/content/13191/
来源：AcWing
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