计算几何 _ 凸包
凸包定义
在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。
其定义为:对于给定集合X ,所有包含 X 的凸集的交集 S 被称为 X 的 凸包。
实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。
性质
凸包用最小的周长围住了给定的所有点。
如果一个凹多边形围住了所有的点,它的周长一定不是最小,如下图。根据三角不等式,凸多边形在周长上一定是最优的。
andrew求凸包
该算法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) ,其中 n为待求凸包点集的大小.
同时复杂度的瓶颈也在于对所有点坐标的双关键字排序。
首先把所有点以横坐标为第一关键字,纵坐标为第二关键字排序。
显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形,我们如果从一个点出发逆时针走,轨迹总是“左拐”的,一旦出现右拐,就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。
因为从左向右看,上下凸壳所旋转的方向不同,为了让单调栈起作用,我们首先 升序枚举 求出下凸壳,然后 降序 求出上凸壳。
求凸壳时,一旦发现即将进栈的点(P)和栈顶的两个点(S1,S2,其中 S1为栈顶)行进的方向向右旋转,即叉积小于 0,则弹出栈顶,回到上一步,继续检测,直到 叉积大于0或者栈内仅剩一个元素为止。
代码
题意:
求出凸包的周长
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pdd pair<double ,double >
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int mod=1000000007;
int n;
pdd q[N];
bool used[N];
int stk[N];
pdd operator-(pdd a,pdd b){
return {a.first-b.first,a.second-b.second};
}
double cross(pdd a,pdd b){
return a.first*b.second-a.second*b.first;
}
double area(pdd a,pdd b,pdd c){
return cross(b-a,c-a);
}
double get_dist(pdd a,pdd b){
double dx=a.first-b.first;
double dy=a.second-b.second;
return sqrt(dx*dx+dy*dy);
}
double andrew(){
sort(q,q+n);
int top=0;
for(int i=0;i<n;i++){
while(top>=2 && area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<=0){
// 凸包边界上的点即使被从栈中删掉,也不能删掉used上的标记
if(area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<0)
used[stk[top--]]=false;
else top--;
}
stk[++top]=i;
used[i]=true;
}
used[0]=false;
for(int i=n-1;i>=0;i--){
if(used[i])continue;
while(top>=2 && area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<=0)
top--;
stk[++top]=i;
}
double ans=0;
for(int i=2;i<=top;i++){
ans+= get_dist(q[stk[i-1]],q[stk[i]]);
}
return ans;
}
signed main(){
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>q[i].first >> q[i].second;
}
double ans=andrew();
printf("%.2lf\n", ans);
return 0;
}
原文:cnblogs.com/beyondChan/p/11394854.html