计算几何 _ 凸包
凸包定义
在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。
其定义为:对于给定集合X ,所有包含 X 的凸集的交集 S 被称为 X 的 凸包。
实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。
性质
凸包用最小的周长围住了给定的所有点。
如果一个凹多边形围住了所有的点,它的周长一定不是最小,如下图。根据三角不等式,凸多边形在周长上一定是最优的。
andrew求凸包
该算法的时间复杂度为 ,其中 n为待求凸包点集的大小.
同时复杂度的瓶颈也在于对所有点坐标的双关键字排序。
首先把所有点以横坐标为第一关键字,纵坐标为第二关键字排序。
显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形,我们如果从一个点出发逆时针走,轨迹总是“左拐”的,一旦出现右拐,就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。
因为从左向右看,上下凸壳所旋转的方向不同,为了让单调栈起作用,我们首先 升序枚举 求出下凸壳,然后 降序 求出上凸壳。
求凸壳时,一旦发现即将进栈的点(P)和栈顶的两个点(S1,S2,其中 S1为栈顶)行进的方向向右旋转,即叉积小于 0,则弹出栈顶,回到上一步,继续检测,直到 叉积大于0或者栈内仅剩一个元素为止。
代码
题意:
求出凸包的周长
#include<bits/stdc++.h> #define int long long #define pdd pair<double ,double > using namespace std; const int N=1e5+10; const int mod=1000000007; int n; pdd q[N]; bool used[N]; int stk[N]; pdd operator-(pdd a,pdd b){ return {a.first-b.first,a.second-b.second}; } double cross(pdd a,pdd b){ return a.first*b.second-a.second*b.first; } double area(pdd a,pdd b,pdd c){ return cross(b-a,c-a); } double get_dist(pdd a,pdd b){ double dx=a.first-b.first; double dy=a.second-b.second; return sqrt(dx*dx+dy*dy); } double andrew(){ sort(q,q+n); int top=0; for(int i=0;i<n;i++){ while(top>=2 && area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<=0){ // 凸包边界上的点即使被从栈中删掉,也不能删掉used上的标记 if(area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<0) used[stk[top--]]=false; else top--; } stk[++top]=i; used[i]=true; } used[0]=false; for(int i=n-1;i>=0;i--){ if(used[i])continue; while(top>=2 && area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<=0) top--; stk[++top]=i; } double ans=0; for(int i=2;i<=top;i++){ ans+= get_dist(q[stk[i-1]],q[stk[i]]); } return ans; } signed main(){ cin>>n; for(int i=0;i<n;i++){ cin>>q[i].first >> q[i].second; } double ans=andrew(); printf("%.2lf\n", ans); return 0; }
原文:cnblogs.com/beyondChan/p/11394854.html
本文作者:kingwzun
本文链接:https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16676327.html
版权声明:本作品采用知识共享署名-非商业性使用-禁止演绎 2.5 中国大陆许可协议进行许可。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
2021-09-10 21/9/9补题 [ 欧拉筛] [数组去重] | [进制转换]
2021-09-10 Java入门
2021-09-10 JAVA:类和对象基础