二、数据的表示与运算
进制转换
二进制....八进制......
十六进制
一般用数字0到9和字母A到F表示，其中:AF相当于十进制的1015
八进制和十六进制 主要目的： 简化二进制的书写
进制转化
二进制<->八进制
3位二进制数，对应1位八进制数
例如：
\(（1001101.01）_2 =（115.2）_{8}\)
(整数部分向前补零，小数部分向后补零)
二进制<->十六进制
4位二进制数，对应1位八进制数
例如：
\(（1001101.01）_2 =（4D.4）_{16}\)
(整数部分向前补零，小数部分向后补零)
十进制分数-> 二进制
分子分母先转化成二进制，然后分子二进制减去分母二进制即可
例：
\(\frac{19}{128}=\frac{2^4+2^1+2^0}{2^7}=2^{-3}+2^{-6}+2^{-7}=0.0010011\)
数的机器码表示
定点表示
计算机有两种表达小数的方法：
- 定点格式：小数点事先约定，位置固定
- 浮点格式：小数点按规则浮动，位置不固定
注意：两者都是隐含存储（实际存储中不存储小数点）。
定点小数
例如：（假设约定小数点位于符号位后面） +0.75D = 0.11B 存储为011 ；-0.75D = 1.11B 存储为111
表示范围：（假设约定小数点位于符号位后面）
有n位尾数的定点小数：\(-(1- 2^{−n}) ～ 1- 2^{−n}\)
定点整数
例如(未考虑位数扩展)：+3D = 011.B 存储为011 ； -3D = 111.B 存储为111
表示范围
有n位尾数的定点整数：\(-(2^n -1 ) ～ 2^n -1\)
定点数特点
-
表示的数的范围受计算机字长的限制；
有符号数首位用于表示符号，因此和无符号数表示的范围不同 -
符号位被数字化 （正号：0 负号：1）
-
小数点处于约定的位置
定点数：小数点的位置固定不变。
浮点数： 小数点的位置允许浮动。
机器码分类：
一、无符号数
二、有符号数
1.机器数与真值 2. 原码表示法 3. 补码表示法 4. 反码表示法 5. 移码表示
无符号数
定义：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。
表示范围：\(n\) 位的无符号数表示范围为：\(0 ～ 2^{n}-1\)
有符号数
真值和机器数
真值： 带符号的数字
机器数：符号位被数字化的数（真值在计算机中的二进制表示形式。）
例如：真值+15 对应的机器码是0 1111；真值-8 对应的机器码是1 1000
注意： 真值和机器数的区别是 符号是否被数字化。和是几进制没有关系。
一般来说0表示正数，1表示负数
由于机器只能是0/1，因此必须引入 机器数，为了解决机器数带来的复杂的运算问题，引出了：原码，补码，反码，移码。
原码表示法
（和上面用的 机器数 相同）
定义： 最高位为数的符号位，其余位为数值位；符号位用0表示正数，用1表示负数。
整数
例如：（假设字长为8位(符号位+数值位)，最高位为符号位）
X=+1001, \([X]_原\)=0，0000 1001
X=-1001, \([X]_原\)=1，0000 1001
原码整数的数据范围：有n位尾数 \(-(2^n -1)\)~$ +(2^n -1)$
小数
如果真值\(1>x≥0\)：\([x]_{原} = x\)
如果真值\(0≥x>-1\)：\([x]_{原} = 1-x\)
（本质上还是符号用0表示正数，用1表示负数）
例如：（假设约定小数点位于符号位后面，假设字长为8位(符号位+数值位)）
x=+0.1101 , \([X]_原\)=0.1101 0000
x=-0.1101 , \([X]_原\)=1-(-0.1101)=1.1101 0000
表示范围：（假设约定小数点位于符号位后面）有n位尾数的定点小数：\(-(1- 2^{−n}) ～ 1- 2^{−n}\)
特点
-
有 正0 和 负0 之分，也就是说 \(+0 ≠-0\)
-
优点： 简单、直观
-
缺点： 用原码做加法时，会出现如下问题，需要根据符号位，进行分类运算。
反码表示法
主要作用： 快速计算补码。
定义：
- 正数：与原码相同
- 负数：符号位不变，数值位将原码的数值按位取反
取值范围：
整数：
纯小数：
特点：
-
电路容易实现反码。
-
反码表示有正0和负0之分
\([+0]_反=00000000\)
\([-0]_反=11111111\)
补码表示法
引入原因： 原码计算加法比较复杂，因此想找到一个方法，使做加法只需要做加法。
方法：
在模一个数的情况下，可以用与负数等价的正数来代替这个负数 就可使 减 -->加。
比如说：（在模数为12的情况下） -3等价于+9 记为\(-3 ≡ +9 (\mod 12)\)
经发现，在二进制下，模数就是 这个二进制数的位数取全零，然后在最高位拼接上1
例如：011 1001的模数就是1000 0000
因此
-
正数：与原码相同：(+1 0000 0000 + 0000 1110) % +1 0000 0000=+0000 1110
-
负数：符号位与原码相同，数值位由原码取反加1得到：(+ 1,00000000 - 00001110)%+ 1,00000000=+1111 0010
-
\([y]_补 \to [-y]_补\) :连同符号位在内，每位取反，末尾加1。
数据范围：（若字长为n+1）
-
对于整数，补码的表示范围为\(−2^n ≤ x ≤ 2^{n−1}\)（比原码多表示一个数\(−2^n\)）。
\([− 2^n]_补\) = 10,0000 − 1,0000 = 1,0000 (原码这个数指的是-0) -
对于纯小数，补码的表示范围为\(−1≤x≤1−2^{−n}\)（比原码多表示一个数−1）
\([−1]_补\)=10.0000−1.0000= 1.0000(原码这个数指的是-0)
特点：
-
不区分+0和-0，都是\(0.0000..\)
-
-1.0000没有原码，只有补码1.0000
性质：
\([x-y]_补=[x]_补-[y]_补=[x]_补+[-y]_补\)
移码表示法
\([x]_移 =2^n + x(2^n ≥x≥-2^n)\)
移码通常用来表示浮点数的阶码。就是将小数部分，乘为整数。
特点：移码和补码尾数相同，符号位相反
真值、补码和移码的对照表
小结
最高位为符号位，书写上用“，”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开
对于正数，原码=补码=反码
对于负数，符号位为1， 其余数值部分
原码除符号位外每位取反末位加1 补码
原码除符号位外每位取反 反码
例 设机器数字长为8位（其中1位为符号位）对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码和反码时，对应的真值范围各为多少？
已知\([y]_补\)求 \([-y]_补\)： 连同符号位在内，每位取反，末尾加1即可。
定点运算
数据表示格式
计算机常用的数据表示格式有两种：
- 定点格式：小数点事先约定，位置固定
- 浮点格式：小数点按规则浮动，位置不固定
注意：两者都是隐含存储（实际存储中不存储小数点）。
定点数表示法
所有数据的小数点提前约定，位置固定不变(理论上位置可以任意)。
通常表示两种数据：纯小数和纯整数。
习惯表示方法： 在符号位与数值位之间，整数用,小数用.
例如：-58；数值取10位，符取1位
二进制：1 $，$111010,定点表示：1 \(，\)0000111010
例如：\(\frac{19}{128}\)；数值取10位，符取1位
二进制：\(\frac{19}{128}=\frac{2^4+2^1+2^0}{2^7}=2^{-3}+2^{-6}+2^{-7}=0.0010011\)
定点表示：1 . 0010011000
数据范围
| 定点机 | 小数定点机 | 整数定点机 |
|---|---|---|
| 原码 | \(-(1-2^{-n}) ~⏖ +(1-2^{-n})\) | \(-(2^n − 1)~⏖ + (2^n − 1)\) |
| 补码 | \(-1~⏖+ (1-2^{-n})\) | \(−2^n~⏖ + (2^n − 1)\) |
| 反码 | \(-(1-2^{-n})~⏖+ (1-2^{-n})\) | \(-(2^n − 1)~⏖ + (2^n − 1)\) |
[例6]以定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合情况。
[例7]将十进制真值(－127,－1, 0,＋1,＋127)列表表示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。
浮点数表示法
为什么要引入浮点数表示
- 有需要调节小数点的位置的实际应用常见
- 定点数的表示范围小，为了能表示两个大小相差很大的暑假，需要很长的机器字长；
- 定点数 数据存储单元的利用率往往很低；
浮点数的表示形式
浮点数分为 阶码E和尾码M 两部分，浮点数真值\(N=r^E×M\)(r为阶码的底，通常为2)
-
阶码E 反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置，也在一定程度上影响 精度，分为两部分：
阶符：阶码正负性(不是浮点数的正负性)
阶值：阶值的数值部分 -
尾码M 和阶码一起决定表示精度，也分为两部分：
数符：浮点数的符号（正负性）
尾数：尾数数值部分
例：阶码、尾数均用补码表示，求a、b的真值
a = 0,01;1.1001
b = 0,01;0.0100
a： 阶码0,01对应真值+1，尾数1.1001对应真值\(-0.0111 = - (2^{−2}+ 2^{−3} + 2^{−4})\)或者理解为-111右移4位：\(- \frac{7}{2^4} = - \frac{7}{16}\)
所以a = $2^1 × (−0.0111) = 2^1 × (- \frac{7}{16}) = -\frac{7}{8} $
b： 阶码0,01对应真值+1，尾数0.01001对应真值+0.01001 =+1001右移5位： \(+\frac{9}{2^5}=+\frac{9}{32}\)
所以b = \(21 × (+0.01001) = 2^1 × (+ \frac{9}{32}) = +\frac{9}{16}\)
规格化
存储上面例子中的浮点数b，显然需要9b的空间，但是
\(b = 2^1 × (+0.01001)= 2^2 × (+0.10010)\)
可以将b变成：0,10;0.1001，两个数在数值上等价，但是占用的空间更少。这个操作就称为 规格化。
规格化目的： 充分利用尾数有效位 （其他还有：保证表示唯一，提高运算精度）。
定义：规定尾数的最高数位必须是一个有效值 。
规格化的方法有两种：
-
左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，
将尾数左移一位，阶码减1（基数为2时）。 -
右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，
将尾数右移一位，阶码加1（基数为2时）
右规 例：a = 010;00.1100，b = 010;00.1000，求a+b
\(a = 2^2 × 00.1100 ，b = 2^2 × 00.1000\)
\(a+b = 2^2 × 00.1100 + 2^2 × 00.1000\)
\(= 2^2 × 01.0100\)（溢出了，需要右归）
\(= 2^3 × 00.1010\)
特点：
-
规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足：\(\frac{1}{r}≤|M|<1\)
当r=2 时 \(\frac{1}{2}≤|S|<1\) -
由于左归的原因是：尾数左边无效位太多，因此：左归可多位
-
由于右归的原因是：尾数运算溢出是要进行右归，因此：右归最多一位
规格化数的判断
| S>0 | 规格化形式 | S<0 | 规格化形式 |
|---|---|---|---|
| 真值 | 0.1xxxx | 真值 | -0.1xxxx |
| 原码 | 0.1xxxx | 原码 | 1.1xxxx |
| 补码 | 0.1xxxx | 补码 | 1.0xxxx |
| 反码 | 0.1xxxx | 反码 | 1.0xxxx |
特征：
- 补码：符号位和第一位数不同
- 原码：符号位正常，第一位数都是1
特例
\([- \frac{1}{2}]_补\) 不是规格化的数
\([- 1]_补\) 是规格化的数
浮点数数据范围
浮点数的数据范围如图：
其中
-
上溢 就是指 需要表示的数大于最大正数或者小于最小负数，
当出现上溢时，程序必须中断，否则就会带来错误结果。 -
下溢 就是指 需要表示的数小于零且大于最大负数 或者 大于零且小于最小正数，
当出现下溢时，程序只要将该数认为是0即可（即 机器零），没必要终止程序。
机器零
机器零就是指 可以让机器认为该数是0 的数。
有两种情况：
- 当浮点数尾数为0时,不论其阶码为何值 都按机器零处理
- 当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小数时,不论尾数为何值,按机器零处理
⭐IEEE754标准浮点数
IEEE754标准浮点数是一个规范的浮点数表示规则，和上面的浮点数有区别，也有联系
和之前学习浮点数的区别是：
-
数符 移动到阶码前面
-
阶码 用移码表示（没有负数），没有 阶符
-
尾数 是规格化的数，且规格化为 \(1.M\) (\(1≤ 1.M≤2\))
-
尾数 隐藏表示最高位1（尾数是规格化后的数，最高位一定是1），也就是说：M=xx…x ，表示尾数=1.xx…x
IEEE754标准分为：32位浮点数（常用）和64位浮点数
规格化的短浮点数的真值为：\((−1)^s×1.M×2^{E−127}\)
规格化长浮点数的真值为：\((−1)^s×1.M×2^{E−1023}\)
数据范围：
| 格式 | 规格化的最小绝对值 | 规格化的最大绝对值 |
|---|---|---|
| 单精度 | E=1，M=0：\(1.0×2^{1−127}=2^{−126}\) | E=254，M=.11…1：\(1.11…1×2^{254−127}=2^{127}×(2−2^{−23})\) |
| 双精度 | E=1，M=0：\(1.0×2^{1−1023}=2^{−1022}\) | E=2046，M=.11…1：\(1.11…1×2^{2046−1023}=2^{1023}×(2−2^{−52})\) |
32位浮点数的具体表示方法：
-
S：符号位，1位，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数。
-
E：阶码，8位，采用移码表示，偏移值是127。移码比较大小方便。
即\(E=e+127\)，具体来说就是：\(阶码E=浮点数的指数真值e+127\)；然后补（省略）到8位即可。 -
M：尾数， 23位，均为在低位部分，采用纯小数表示
-
基数R=2，基数固定，采用隐含方式来表示它。
IEEE754标准的一些规定：(以32位 短浮点数 为例)
-
当阶码E全为0，尾数M全为0时，表示真值±0
-
当阶码E全为0，尾数M不全为0时，表示非规格化小数\(±(0.xx…x)_2×2^{-126}\)
-
当阶码E全为1，尾数M全为0时，表示无穷大±∞
-
当阶码E全为1，尾数M不全为0时，表示非数值“NaN” (Not a Number)
例子：用 IEEE 32 位浮点格式表示如下的数：-5
符号位：S=1
-5=101
规格化：\(101=1.01×2^2\)
阶码：E=2+127=129=10000001
尾数：010000...
因此整体就是
1 10000001 010000...
浮点数的加减运算
浮点数的加减运算运算步骤
0. 转换格式：将已知真值，转化为题目要求的浮点数
- 对阶
- 尾数求和
- 规格化
- 舍入
- 溢出判断
例： 已知十进制数X=−5/256、Y=+59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X−Y，结果用二进制表示.
浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位
准备
按照题意将十进制数转化为浮点数。
- 转换格式：用补码表示阶码和尾数
\(5D = 101B，1/256 = 2^{-8}\)
\(\to X = - 101 × 2^{-8} = - 0.101 × 2^{-5} = - 0.101 × 2^{−101}\)
\(59D = 111011B，1/1024 = 2^{−10}\)
\(\to Y = + 111011 × 2^{−10} = + 0.111011 × 2^{−4} = + 0.111011 × 2^{−100}\)
X：11011,11.011000000 Y：11100,00.111011000
对阶：
对阶就是 使两个数的阶码相等。
方法是：小阶向大阶看齐，尾数毎右移一位，阶码加1。
（1）求阶差
① 求阶差：\([ΔE]_补\)=11011+00100=11111，知ΔE=−1
（2）对阶
对阶原则 小阶向大阶看齐（小阶变大，小阶尾数右移）阶差为2，小阶右移两位，阶差为1，小阶右移1位
② 对阶：X：11011,11.011000000
\(\to\) 11100,11. 101100000 (\(X = - 0.0101 × 2^{−100}\))
注意：
- 补码且负数时：尾数右移时，补1
- 补码且正数时：尾数右移时，补0
尾数求和
直接尾数求和即可。
注意：
x-y不容易计算，一般时转化成补码计算，
因为：\([x-y]_补=[x]_补-[y]_补=[x]_补+[-y]_补\) 只需要计算加法即可。
规格化
如果尾数溢出，就进行右归。
注意： 此时的溢出不一定发生浮点数溢出。
上面x-y很明显发生了溢出
\(X-Y：11100, 10.110001000 \to 11101,11.011000100\)
舍入
在右规（对阶和规格化）过程中，尾数最低位的舍弃可能会引起误差，需考虑舍入处理:
- “0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。
- 恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。
如果采用0舍1入法，则本次计算 无舍入
溢出判断
判断是不是常阶码，从而判断有无溢出。
常阶码，无溢出，结果真值为\(2^{−3}×(−0.1001111)_2\)
字符和字符串
现在计算机不仅处理数值领域的问题，而且处理大量非数值领域的问题。比如人机交换信息时使用英文字母，标点符号等。上述信息必须编写成二进制格式的代码。
符号数据： 字符信息用数据表示，如ASCII等。
ASCII码
ASCII码是英文中经典的字符编码方式，用来表示 数字+英文字母+符号。
表示方式：
用一个字节来表示，低7位用来编码(128个)，最高位为校验位。
其中：数字，大写字母，小写字母内部都是连续的，但是之间不连续。
- 数字：48(0011 0000)～57(0011 1001
- 大写字母：65(0100 0001)～90(0101 1010)
- 小写字母：97(0110 0001)～122(0111 1010)
汉字的表示和编码
字符串
字符串的存放，就是将字符进行按顺序存放，但是存放方法有两种：
- 大端模式：存储单元内先存储高位字节、后存储低位字节的顺序
- 小端模式：存储单元内先存储低位字节、后存储高位字节的顺序
比如：存放字符串：IF A>B_THEN_READ(C) （每行代表一个存储单元，每个存储单元存放4B）
校验码（奇偶校验码）
引入原因：信息传输和处理过程中受到干扰和故障，容易出错跳变。但是无法判断出错。
方法：1.在有效信息中加入一些冗余信息（校验位）2.使码距不为1（百度吧）
校验码： 校验位+有效信息位。
、
奇校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为奇数。
偶校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为偶数
特点：
- 只能检查出奇数个 位出错。
- 仅需1位检验位。（再增加也无用：再对增加校验码后的数据，嵌套校验，会发现无效（本质是码距没有改变））
- 不能纠正错误。
具体实现
设\(x＝(x_0x_1…x_{n－1})\)是一个n位数字,
则奇校验位Ｃ定义为:$C＝x_0⊕x_1⊕…⊕x_{n－1} $ ⊕代表按位加
- 当ｘ中包含有奇数个1时,使C＝1，否则C=0。
- 同理偶校验为 偶数个1时,才使C＝0，否则C=1。
其它还有Hamming, CRC等，可以实现更多功能。
