数论 _ 扩展欧几里得算法
裴蜀定理
对于任意正整数a,b, 一定存在整数x, y,使得
因为为常数,令
则
扩展欧几里得算法就是用于求上面的x和y。
注意:
x和y不唯一。
证明
因为
而
故而
因此可以采取递归算法 先求出下一层的x′和y′ 再利用上述公式回代即可。
代码:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (!b) { x = 1, y = 0; return a; } int d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } int main() { int n; scanf("%d", &n); while (n -- ) { int a, b; scanf("%d%d", &a, &b); int x, y; exgcd(a, b, x, y); printf("%d %d\n", x, y); } return 0; }
应用
线性同余方程
等价于 (x,y'是未知数)
设,则有
根据 裴蜀定理,上述等式有解当且仅当 b是gcd(a,m)的倍数。
所以可以用拓展欧几里得算法
代码:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (!b) { x = 1, y = 0; return a; } int d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } int main() { int n; scanf("%d", &n); while (n -- ) { int a, b, m; scanf("%d%d%d", &a, &b, &m); int x, y; int d = exgcd(a, m, x, y); if (b % d) puts("impossible"); else printf("%d\n", (LL)b / d * x % m); } return 0; }
求逆元
本文作者:kingwzun
本文链接:https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16627763.html
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