数学 _ 容斥原理

概述

引子：
如何计算这个图形的面积？

很显然：

\[|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C| \]

把上述问题推广到一般情况，就是我们熟知的容斥原理。

定义

集合的并

设 U 中元素有 m 种不同的属性，而第 i 种属性称为\(P_i\) ，拥有属性 \(P_i\) 的元素构成集合\(S_i\)，那么，集合\(S_i\)的并为：
\(\bigcup_{i=1}^{m} S_i=S_1+S_2 + \ldots + S_m\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,- (S_1 \bigcap S_2+S_1 \bigcap S_3+\ldots + S_{m-1} \bigcap S_m)\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+(S_1 \bigcap S_2 \bigcap S_3+\ldots + S_{m-2} \bigcap S_{m-1} \bigcap S_m)\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+ \ldots + (-1)^{m - 1}(\bigcap_{i=1}^{m}S)\)

复杂度：\(O(2^m)\)

集合的交

对于全集 U 下的 集合的并 可以使用容斥原理计算，而 集合的交 则用全集减去 补集的并集 求得

\[\bigcap_{i=1}^{n}S_i = U- \bigcup_{i=1}^n\overline{S_i} \]

原文

应用

区间[L,R]中与 k 互质的数的个数

原文

模板题
复杂度: \(O(2^{fac[k]})\) 其 中 \(fac[k]\) 为 \(k\) 的质因子的种类数。

当fac[k]为10时（时间复杂度才1e3），k就已经大于\(1e9\)了

结论就是1e18的范围内，都可以算出来。

模板代码：

int a[N],num;
void getprime(int x){
    num=0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if( x%i==0){
            a[num++]=i;
            while(x%i==0) 
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)  a[num++]=x;
}
int qu(int r,int x){
    getprime(x);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<(1<<num);i++){
        int k=0;
        int mul=1;
        for(int j=0;j<=num;j++){
            if(i& (1<<j)){
                k++;
                mul*=a[j];
            }
        }
        if(k%2) ans+=r/mul;
        else ans-=r/mul;
    }
    if(ans<0) return 0;
    if(r-ans<0) return 0;
    return r - ans;
}
int que(int l,int r,int k){
    return qu(r,k)-qu(l-1,k);
}