数学 _ 高斯消元 and 线性基
高斯消元
时间复杂度:\(O(n3)\)
定义:
通过初等行变换 把 增广矩阵 化为 阶梯型矩阵 并回代 得到方程的解
作用:
适用于求解 包含n 个方程,n 个未知数的多元线性方程组
过程
例如该方程组
增广矩阵为
接下来的所有操作都用该增广矩阵,代替原方程组
高斯消元
前置知识:初等行(列)变换
- 把某一行乘一个非0的数
(方程的两边同时乘上一个非0数不改变方程的解)- 交换某两行
(交换两个方程的位置)- 把某行的若干倍加到另一行上去
(把一个方程的若干倍加到另一个方程上去)
其实可以看到,初等行变换就是我们手解方程组的几个操作,只不过将他变成了矩阵的形式。
算法步骤
- 枚举每一列c,
-
- 找到当前列绝对值最大的一行
找最大的一行精度会更准
- 找到当前列绝对值最大的一行
-
- 用初等行变换(2) 把这一行换到最上面(未确定阶梯型的行,并不是第一行)
-
-用初等行变换(1) 将该行的第一个数变成 11 (其余所有的数字依次跟着变化)
-
- 用初等行变换(3) 将下面所有行的当且列的值变成 0
运用初等行变换,可以把增广矩阵变为阶梯型矩阵:
解的判断
如果发现:
-
存在矛盾方程:消元后系数全为0,常数项不为0,此时无解
-
多解:当消元完毕后,发现有多行系数、常数项均为 0,此时多解。
有几行为全为 0,就有几个自由元,即变量的值可以任取,有无数种情况可以满足给出的方程组 -
如果是一个标准的上三角矩阵,就是只有唯一解。
很明显,我们只要从阶梯型矩阵的下到上回代:
对于每一行减去下面行乘上某个数,就可以得到一个\(x_i\)的解
直到第一层即可得到方程的解。
算法步骤
就是模拟高斯消元的过程
解释代码:
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];
int gauss()
{
int c, r;// c 代表 列 col , r 代表 行 row
for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
{
int t = r;// 先找到当前这一列,绝对值最大的一个数字所在的行号
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;
if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;// 如果当前这一列的最大数都是 0 ,那么所有数都是 0,就没必要去算了,因为它的约束方程,可能在上面几行
for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//// 把当前这一行,换到最上面(不是第一行,是第 r 行)去
for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];// 把当前这一行的第一个数,变成 1, 方程两边同时除以 第一个数,必须要到着算,不然第一个数直接变1,系数就被篡改,后面的数字没法算
for (int i = r + 1; i < n; i ++ )// 把当前列下面的所有数,全部消成 0
if (fabs(a[i][c]) > eps)// 如果非0 再操作,已经是 0就没必要操作了
for (int j = n; j >= c; j -- )// 从后往前,当前行的每个数字,都减去对应列 * 行首非0的数字,这样就能保证第一个数字是 a[i][0] -= 1*a[i][0];
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
r ++ ;// 这一行的工作做完,换下一行
}
if (r < n)// 说明剩下方程的个数是小于 n 的,说明不是唯一解,判断是无解还是无穷多解
{// 因为已经是阶梯型,所以 r ~ n-1 的值应该都为 0
for (int i = r; i < n; i ++ )//
if (fabs(a[i][n]) > eps)// a[i][n] 代表 b_i ,即 左边=0,右边=b_i,0 != b_i, 所以无解。
return 2;
return 1;// 否则, 0 = 0,就是r ~ n-1的方程都是多余方程
}
// 唯一解 ↓,从下往上回代,得到方程的解
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];//因为只要得到解,所以只用对 b_i 进行操作,中间的值,可以不用操作,因为不用输出
return 0;
}
模板代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-8;
int n;
double a[N][N];
int gauss()
{
int c, r; // c:列 r:行
for (r = 0, c = 0; c < n; c++)
{
int k = r;
for (int i = r; i < n; i++)
{
if (abs(a[i][c]) > abs(a[k][c]))
k = i;
}
if (abs(a[k][c]) < eps)
continue;
for (int i = c; i <= n; i++)
swap(a[k][i], a[r][i]);
for (int i = n; i >= c; i--)
a[r][i] /= a[r][c];
for (int i = r + 1; i < n; i++)
{
if (abs(a[i][c]) > eps)
{
for (int j = n; j >= c; j--)
{
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
}
}
}
r++;
}
if (r < n)
{
for (int i = r; i < n; i++)
if (abs(a[i][n]) > eps)
return 2; // 无解
return 1; // 有无穷多组解
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
for (int j = i + 1; j < n; j++)
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
return 0; // 有唯一解
}
void solve()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
{
scanf("%lf", &a[i][j]);
}
}
int flag = gauss();
if (flag == 2)
puts("No solution");
else if (flag == 1)
puts("Infinite group solutions");
else
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (abs(a[i][n]) < eps)
a[i][n] = 0;
printf("%.2lf\n", a[i][n]);
}
}
}
int main()
{
int t = 1;
// scanf("%d", &t);
while (t--)
{
solve();
}
return 0;
}
高斯消元解 异或线性方程组
异或线性方程组示例如下:
M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]
其中 ^ 表示异或(XOR),M[i][j] 表示第 i 个式子中 x[j] 的系数,B[i] 是第 i 个方程右端的常数,取值均为 0 或 1。
核心思想: 异或<=>不进位的加法
因此可以使用高斯消元。
因为取值只有0和1,所以异或方程组可以少写一些步骤
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N][N];
int gauss()
{
int c, r; // c:列 r:行
for (r = 0, c = 0; c < n; c++)
{
int k = r;
for (int i = r; i < n; i++)
{
if (a[i][c])
{
k = i;
break;
}
}
if (!a[k][c])
continue;
for (int i = c; i <= n; i++)
swap(a[r][i], a[k][i]);
for (int i = r + 1; i < n; i++)
{
if (a[i][c])
for (int j = c; j <= n; j++)
a[i][j] ^= a[r][j];
}
r++;
}
if (r < n)
{
for (int i = r; i < n; i++)
if (a[i][n])
return 2; // 无解
return 1; // 有无穷多组解
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
for (int j = i + 1; j < n; j++)
a[i][n] ^= a[i][j] * a[j][n];
return 0; // 有唯一解
}
void solve()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
int flag = gauss();
if (flag == 2)
puts("No solution");
else if (flag == 1)
puts("Multiple sets of solutions");
else
{
for (int i = 0; i < n; i++)
printf("%d\n", a[i][n]);
}
}
int main()
{
int t = 1;
// scanf("%d", &t);
while (t--)
{
solve();
}
return 0;
}
线性基
基本概念
线性空间:
线性空间是一个向量集合,并且关于一下两个运算封闭:
- 向量加法:\(a+b\) a,b均是向量
- 标量乘法:\(k×a\) k是常数,a是向量
如果一个向量可以被若干个向量通过向量乘法以及向量加法表示,那么就称这个向量可以被这几个向量线性表出。
给若干个向量\(a_1,a_2.....a_k\)。显然\(a_1,a_2.....a_k\)所能表出的所有向量所构成的集合构成一个线性空间,\(a_1,a_2.....a_k\)被称作生成子集。
线性相关&线性无关
任意在向量空间中选出若干个向量,如果某个向量可以被其他向量所表示,那么这些向量线性相关。否则线性无关。
线性空间的基底(基)
线性无关的生成子集被称作基,其实也就是极大线性无关子集。
线性空间的维数:
一个线性空间的所有基包含的向量个数相等,成为维数。
有几个很显然有几个性质:
- 线性基可以推出线性空间
- 线性基可以代替线性空间
也就是说:如果我们能够找到线性空间的基,就能用基代替线性空间做操作。
线性几个不显然的性质:
-
数列的任意数字都能通过线性基中的一些数字异或出来。
-
线性基只能异或出数列中的数或数列中的数能异或出来的东西。
求线性基
因为初等行变换只进行 向量加法和标量乘法 因此可以通过高斯消元求线性基。
应用
没用我学这东西干嘛
快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
好文章:https://www.acwing.com/solution/content/35986/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;
int n;
LL a[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%lld", &a[i]);
int k = 0;
for (int i = 62; i >= 0; i -- )
{
for (int j = k; j < n; j ++ )
if (a[j] >> i & 1)
{
swap(a[j], a[k]);
break;
}
if (!(a[k] >> i & 1)) continue;
for (int j = 0; j < n; j ++ )
if (j != k && (a[j] >> i & 1))
a[j] ^= a[k];
k ++ ;
if (k == n) break;
}
LL res = 0;
for (int i = 0; i < k; i ++ ) res ^= a[i];
printf("%lld\n", res);
return 0;
}
快速查询一堆数可以异或出来的第k大值
题意:
给定你由 N 个整数构成的整数序列,你可以从中选取一些(至少一个)进行异或(xor)运算,从而得到很多不同的结果。
请问,所有能得到的不同的结果中第 k 小的结果是多少。
思路:
高斯消元找到一组线性无关组,消出对角矩阵。
如果线性基线性无关,则可以组成0
则对于k二进制拆分,哪位线性基是1,直接异或起来求和就是答案。
如果线性基线性相关,
则对于k-1二进制拆分,哪位线性基是1,直接异或起来求和就是答案。
代码:
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10010;
LL a[N];
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
for (int C = 1; C <= T; C ++ )
{
printf("Case #%d:\n", C);
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%lld", &a[i]);
int k = 0;
for (int i = 62; i >= 0; i -- )
{
for (int j = k; j < n; j ++ )
if (a[j] >> i & 1)
{
swap(a[j], a[k]);
break;
}
if (!(a[k] >> i & 1)) continue;
for (int j = 0; j < n; j ++ )
if (j != k && (a[j] >> i & 1))
a[j] ^= a[k];
k ++ ;
if (k == n) break;
}
reverse(a, a + k);
int m;
scanf("%d", &m);
while (m -- )
{
LL x;
scanf("%lld", &x);
if (k < n) x -- ;
if (x >= (1ll << k)) puts("-1");
else
{
LL res = 0;
for (int i = 0; i < k; i ++ )
if (x >> i & 1)
res ^= a[i];
printf("%lld\n", res);
}
}
}
return 0;
}