定义:
若整数a和整数b除以正整数m的余数相等,则称a,b模m同余。记为a≡b(modm)
例如:10≡24(mod7) 同余数是3.
基本性质
在写性质之前,先得有种这样的思路。
a=p×m+r1
b=q×m+r2
如果a≡b(modm),那么r1=r2
性质
如果a≡b(modm) ,c≡d(modm)
那么
(a−c)≡(b−d)(modm)
(a+c)≡(b+d)(modm)
(a×c)≡(b×d)(modm)
欧拉定理:
若a与p互质,则有aφ(p)≡1(modp)
φ(p)为欧拉函数
证明
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费马小定理:
若p为质数,则ap≡a(modp)
证明:
因为 φ(p)=p−1 有欧拉定理,我们可以得,ap−1≡1(modp)
两边同时乘a,得费马小定理。
证毕。
欧拉定理推论:
若a,p互质,对于任意正整数b,有ab≡abmodφ(p)(modp)
证明:
记 b=q∗φ(p)+r , 即 r=bmodφ(p)
因此
ab≡aq×φ(p)+r≡(aφ(p))q×ar(modp)
有欧拉定理aφ(p)≡1(modp),我们可以得
(aφ(p))q×ar≡(1)q×ar≡ar(modp)
因此 ab≡abmodφ(p)modp
证毕。
本文作者:kingwzun
本文链接:https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16507906.html
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