数论 _ 同余

定义：
若整数a和整数b除以正整数m的余数相等，则称a,b模m同余。记为\(a \equiv b\,(mod\,m)\)

例如：\(10 \equiv 24(mod \,7)\) 同余数是3.

基本性质
在写性质之前，先得有种这样的思路。
\(a=p×m+r_1\)
\(b=q×m+r_2\)
如果\(a\equiv b\,\,(mod\, m)\)，那么\(r_1=r_2\)

性质
如果\(a\equiv b\,\,(mod \,m)\) ，\(c \equiv d\,\,(mod\,m)\)
那么

\[(a - c)≡ (b - d) \,\,(mod\, m) \]

\[(a + c)≡ (b + d) \,\,(mod\, m) \]

\[(a × c)≡ (b × d) \,\,(mod\, m) \]

欧拉定理:
若a与p互质，则有\(a^{\varphi(p)} \equiv 1 \,\,(mod\, p)\)
\(\varphi(p)\)为欧拉函数

证明

费马小定理:
若p为质数，则\(a^{p}\equiv a\,\,(mod\,p)\)

证明：

因为 \(φ(p)=p−1\) 有欧拉定理，我们可以得，\(a^{p-1}\equiv 1 \,\,(mod\, p)\)
两边同时乘a，得费马小定理。
证毕。

欧拉定理推论:
若a,p互质，对于任意正整数b，有\(a^b \equiv a^{b\,mod\, \varphi(p)}\,\,(mod\,p)\)

证明：

记 \(b=q*\varphi(p)+r\) , 即 \(r=b\,mod\, \varphi(p)\)
因此

\[a^{b} \equiv a^{q × \varphi(p)+r} \equiv (a^{\varphi(p)})^q × a^r\,\,(mod\,p) \]

有欧拉定理\(a^{\varphi(p)} \equiv 1 \,\,(mod\, p)\)，我们可以得

\[(a^{\varphi(p)})^q × a^r \equiv (1)^q × a^r\equiv a^r \,\,(mod\,p) \]

因此 \(a^b \equiv a^{b\mod\varphi(p)} \mod p\)
证毕。