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📂数学
🔖同余
2022-07-22 20:17阅读: 35评论: 0推荐: 0

数论 _ 同余

定义:
若整数a和整数b除以正整数m的余数相等,则称a,b模m同余。记为ab(modm)

例如1024(mod7) 同余数是3.

基本性质
在写性质之前,先得有种这样的思路。
a=p×m+r1
b=q×m+r2
如果ab(modm),那么r1=r2

性质
如果ab(modm)cd(modm)
那么

(ac)(bd)(modm)

(a+c)(b+d)(modm)

(a×c)(b×d)(modm)

欧拉定理:
若a与p互质,则有aφ(p)1(modp)
φ(p)为欧拉函数

证明
image

费马小定理:
若p为质数,则apa(modp)

证明:

因为 φ(p)=p1 有欧拉定理,我们可以得,ap11(modp)
两边同时乘a,得费马小定理。
证毕。

欧拉定理推论:
若a,p互质,对于任意正整数b,有ababmodφ(p)(modp)

证明:

b=qφ(p)+r , 即 r=bmodφ(p)
因此

abaq×φ(p)+r(aφ(p))q×ar(modp)

有欧拉定理aφ(p)1(modp),我们可以得

(aφ(p))q×ar(1)q×arar(modp)

因此 ababmodφ(p)modp
证毕。

本文作者:kingwzun

本文链接:https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16507906.html

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