分解质因数 | 求解最大质因数

前言

求解最大质因数\(\iff\)分解质因数时只返回最大质因数
本文只讲了短除法分解质因数，算法时间复杂度为 $ \sqrt n$。

还有一个算法时间复杂度为\(O（n^{\frac{1}{4}}）\)的算法，看这里吧Pollard Rho快速因数分解

基础知识：

1. 任何一个正整数都必然可以表示为许多个质数的乘积。
   根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。

2. 素数x素数=合数，素数x合数=合数，合数x合数=合数

3. 如果一个合数n有比\(\sqrt n\) 大的质因数，那么这样的质数有且只有一个。
   如果有两个，那么这两个质数相乘就大于n了。

质因数：

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。
只有一个质因子的正整数为质数。

比如12=2×2×3，2和3就是12的质因数。

短除法分解质因数

方法：
从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。

例如：

时间复杂度： $ \sqrt n$

需要注意的是：

1. 因为一个合数的质因子一定在扫描到这个合数之前就从N中剔除掉了，所以无需验证 i 是否为质数
2. 如果N没有被任何2~\(sqrt N\)的数整除，则N是质数。

求解最大质因数代码：

int getmaxprime(int n)
{
    for (int i = 2; i <= sqrt(1.0 * n); i++)//从2到根号n求其质因数
    {
        while (n % i == 0)
            n = n / i;
//此时输出i就是分解所有质因子
    }
    return n;
}

还可以更快一点

void getmaxprime(int n)
{
    for (int i = 2; i <= 1.0 * sqrt(n);)
    {
        int cnt = 0;
        while (n % i == 0)
            n = n / i;
        // 不需要每次只+1
        if (i == 2)  i++;
        else  i += 2;
    }
    return n;
}

短除法还可以用来求多个数的最大公因数和最小公倍数：

求几个数最大公因数的方法：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。

例如：求12与18的最大公因数。
给每个数分别分解质因数的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。
从分解的结果看，12与18都有公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。

如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。
例如：

短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数就是这两个数的公共质因数的连乘积。最小公倍数就是把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘。

原文1（不太建议看原文，很多写错了）