二分图 _ 复习

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染色法判断二分图

基础
\(二分图 \Leftrightarrow 不存在奇数环 \Leftrightarrow染色体法不存在矛盾\)

题意：
给定一个 N 行 N 列的棋盘，已知某些格子禁止放置。
求最多能往棋盘上放多少块的长度为 2、宽度为 1 的骨牌，并且任意两张骨牌都不重叠。

思路：

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 20010, M = 200010;
int n, m;
int to[M], pre[M], w[M], h[N], idx;
int color[N];
void add(int a, int b, int c)
{
    to[idx] = b, w[idx] = c, pre[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
bool dfs(int u, int c, int x)
{
    color[u] = c;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = pre[i])
    {
        if (w[i] <= x)
            continue;
        int j = to[i];
        if (color[j])
        {
            if (color[j] == c)
                return false;
        }
        else if (!dfs(j, 3 - c, x))
            return false;
    }
    return true;
}
bool check(int x)
{
    memset(color, 0, sizeof color);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (color[i] == 0)
        {
            if (!dfs(i, 1, x))
                return false;
        }
    }
    return true;
}
signed main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
    }
    int l = 0, r = 1e9;
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    cout << l << endl;
    return 0;
}

匈牙利算法找最大匹配

最大匹配： 边数最多的一组匹配

增广路径： 非匹配点 非匹配边 匹配边 非匹配边 匹配边 非匹配点

最大匹配等价于不存在增广路径

372. 棋盘覆盖

题意：
给定一个 N 行 N 列的棋盘，已知某些格子禁止放置。
求最多能往棋盘上放多少块的长度为 2、宽度为 1 的骨牌，并且任意两张骨牌都不重叠。

思路：
将放置骨牌看成连边。
将图看成黑白相间图，白格子周围都是黑格子。
显然放置骨牌连边等价于对不同颜色的点连边。
因此最大骨牌放置量，就是二分图的最大匹配。
代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 510, M = 2e5 + 10;
int n1, n2, m;

int to[M], pre[M], h[N], idx;
int match[N];
int st[N];
void add(int a, int b)
{
    to[idx] = b, pre[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = pre[i])
    {
        int j = to[i];
        if (st[j])
            continue;
        st[j] = true;
        if (match[j] == 0 || find(match[j]))
        {
            match[j] = x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
signed main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i++)
    {
        memset(st, 0, sizeof st);
        if (find(i))
            res++;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

最小点覆盖、最大独立集、最小路径点覆盖、最小路径重复点覆盖

最大匹配数 = 最小点覆盖 = 总点数 - 最大独立集 = 总点数 - 最小路径覆盖

二分图中，最小点覆盖 等于 最大匹配数！

最优匹配 KM算法

多重匹配