最近公共祖先LCA 模板
前置知识
LCA问题简述
最近公共祖先简称 LCA (Lowest Common Ancestor)。两个节点的最近公共祖先,就是这两个点的公共祖先里面,离根最远的那个。
为了方便,我们记某点集\(S=v_1,v_2,..., v_n\)的最近公共祖先为 \(LCA(v_1,v_2,...,v_n)\)或\(LCA(S)\)。
自己是自己的祖先
性质
- 对于求多个点的最近公共祖先，我们并不真的要对所有点两两都求一次。我们只用取这些点中dfs序最小和最大的两个点来求最近公共祖先就行。
题目：https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16518746.html
向上标记法
一般不用
- 从x向上走到根节点， 并标记路径上经过的点
- 从y向上走到根节点， 当遇到第一个被标记的点就找到了LCA(x, y)
倍增法
倍增的意思就是们不用每次向上爬一个，而是向上爬2^n个
具体分析看：原文
步骤： 每次向上爬2^n
- [1] 先将两个点跳到同一层
- [2] 让两个点同时往上跳，一直跳到它们的最近公共祖先的下一层。
数据定义：
- fa[i][j]表示从i开始，向上走2^j步所能走到的结点。0 <= j <= logn
- dep[i]表示深度
-
- 哨兵：如果从i开始跳2^j步会跳过根结点，那么fa[i][j] = 0。dep[0] = 0
预处理：
- 结点深度：
深度的更新就是他爸爸的深度+1 - 结点\(2^i\)级的祖先
由于\(2^{(j-1)} +2^{(j-1)}=2^j\)
所以：
i的\(2^{(j-1)}\)级祖先的\(2^{(j-1)}\)级祖先 就是i的2^j级祖先。
故：
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]
复杂度：
- 预处理 O(nlogn)
- 查询 O(logn)
讲解代码
模板题洛谷p3379
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500005;
vector <int> e[maxn];
int n,m,s,dep[maxn],fa[maxn][21];
int read() //快读
{
int ans=0,flag=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
flag=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
ans=ans*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return ans*flag;
}
void dfs(int x,int father) //x为当前节点，father为他的爸爸
{
dep[x]=dep[father]+1; //x的深度是他父亲的深度+1
fa[x][0]=father; //2^0是1，x向上一个的祖先就是他爸爸
for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++) //1<<i就是2^i，当2^i小于x的深度时，枚举他的祖先
{
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; //上面说过的fa数组的更新
}
for(int i=0;i<e[x].size();i++) //枚举与他相邻的边（我用的是vector存图）
{
if(e[x][i]!=father) //如果不是他爸爸
{
dfs(e[x][i],x); //继续dfs
}
}
return;
}
int lca(int u,int v) //u,v就相当于先讲的x和y
{
int temp; //temp是两个点的深度度差
if(dep[u]<dep[v]) //我们默认u的深度大一些，否则将u与v交换
swap(u,v);
temp=dep[u]-dep[v]; //计算深度差
for(int i=0;(1<<i)<=temp;i++) //将u的深度变得与v相同，还是使用倍增的思想
{
if((1<<i)&temp) //这个操作就相当于将深度差变成几个2^n的和，判断2^i是不是其中一个
{
u=fa[u][i]; //将u跳到他祖先的位置
}
}
if(u==v) //如果u刚好等于v,即他们已经变成了同一个点
{
return u; //返回这个点的值,就是LCA
}
for(int i=(int)(log(n)/log(2));i>=0;i--) //(int)(log(n)/log(2))就是n以内最大的2的次方，从最大的开始倍增
{
if(fa[u][i]!=fa[v][i]) //如果他们的爸爸不相同，即没有找到LCA
{
u=fa[u][i];
v=fa[v][i]; //一起倍增
}
}
return fa[u][0]; //返回他们的爸爸，即是LCA
}
int main()
{
n=read();
m=read();
s=read();
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
int x=read(),y=read();
e[x].push_back(y);
e[y].push_back(x); //vector存图
}
dfs(s,0); //预处理
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read();
int ans=lca(x,y);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
模板代码
模板题洛谷p3379
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500005;
vector <int> g[maxn];
int n,m,s,dep[maxn],fa[maxn][21];
void dfs(int x,int f){
dep[x]=dep[f]+1;
fa[x][0]=f;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++){
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
}
for(int t:g[x]){
if(t!=f){
dfs(t,x);
}
}
return ;
}
int lca(int u,int v){
if(dep[v]>dep[u]) swap(v,u);
int temp=dep[u]-dep[v];
for(int i=0;(1<<i)<=temp;i++){
if((1<<i)&temp){
u=fa[u][i];
}
}
if(u==v) return u;
int mx=log(n)/log(2);
for(int i=mx;i>=0;i--){
if(fa[u][i]!=fa[v][i]){
u=fa[u][i],v=fa[v][i];
}
}
return fa[u][0];
}
int main()
{
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
int x,y;cin>>x>>y;
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
dfs(s,0);
for(int i=0;i<m;i++)
{
int x,y;cin>>x>>y;
int ans=lca(x,y);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Tarjan——离线求LCA O(n+m)
在深度优先遍历时，将所有点分成三大类：
- [1] 已经遍历过，且回溯过的点
- [2] 正在搜索的分支
- [3] 还未搜索到的点
模板代码
