数据结构 查找

基础概念：

查找：
根据给定的值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素。
关键字：
用于标识一个数据元素的数据项的值。
主关键字：
可以唯一的表示一个记录的关键字。
平均查找长度ASL
ASL(Average Search Length)
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线性表的查找

顺序查找

优点： 简单，对逻辑次序无要求，且不同储存结构均可使用。

缺点： ASL长，时间效率低

ASL： \((1+2+..+n)/n=（n+1）/2\)
方法：
就是for循环
改进：
增加哨兵：将查找关键字存入表头，从而免去查找过程中每次都要检测是否查找完成。

int Search_Seq(SSTable ST,KeyType key){
	ST.R[0].key=key;//设置监视哨
	for(i=S+T.length;ST.R[i].key!=key;---i);
	return i;
}

二分查找

前提：
只能是数组，不能是链表，并且数组有序
查找次数：
比较次数等于查找成功时位于的树的深度。
即 \(\lfloor log_2n \rfloor+1\)
ASL：
\(log_2 (n+1)-1\) (n>50)
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实现：

int a[1000]; //已经从小到大排序
int find(int k, int L, int R)
{
    if (L > R)  return -1;//大于号
    int mid = (L + R) / 2;
    if (a[mid] == k)  return k;
    if (a[mid] > k)   return find(k, L, mid - 1);//是返回  ...mid-1
    if (a[mid] < k)   return find(k, mid + 1, R);
    return -1;
}

优点：
效率比顺序查找快
缺点：
只适用于有序表且限于顺序储存结构（对线性链表无效）

分块查找

分块查找(Blocking Search)又称索引顺序查找。它是一种性能介于顺序查找和二分查找之间的查找方法。
存储结构
二分查找表由"分块有序"的线性表和索引表组成。

  • （1）"分块有序"的线性表
    　表R[1..n]均分为b块，前b-1块中结点个数为 ，第b块的结点数小于等于s；每一块中的关键字不一定有序，但前一块中的最大关键字必须小于后一块中的最小关键字，即表是"分块有序"的。

  • （2）索引表
    　抽取各块中的最大关键字及其起始位置构成一个索引表ID[l..b]，即：
    IDi中存放第i块的最大关键字及该块在表R中的起始位置。由于表R是分块有序的，所以索引表是一个递增有序表。
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查找方式：

  • 首先查找索引表
    • 索引表是有序表，可采用二分查找或顺序查找，以确定待查的结点在哪一块。
  • 然后在已确定的块中进行顺序查找
    • 由于块内无序，只能用顺序查找。

优点：

  • 在表中插入或删除一个记录时，只要找到该记录所属的块，就在该块内进行插入和删除运算。
  • 因块内记录的存放是任意的，所以插入或删除比较容易，无须移动大量记录。
    缺点：
    需要增加一个辅助数组的存储空间
    将初始表分块排序的运算。
    适应情况：
    线性表既要快速查找，又经常动态变化。（链表和线性表都适用）

比较总结

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树表的查找

动态查找表

优点：
当表插入，删除操作频繁时，用动态查找表（几种特殊的树）比较好。

二叉排序树

二叉查找树/二叉排序树/二叉搜索树。
(BSTree) (Binary Sort Tree)

定义：
或是一棵空树，
或是具有下列性质的二叉树：
　　1) 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
　　2) 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
　　3) 左、右子树也分别为二叉排序树；
　　4) 没有键值相等的节点。

简单来说就是：左儿子小于父亲，右儿子大于父亲

特点：
二叉有序树,使用中序遍历,是有序的.

操作

建立：

struct node{
    int data;
    struct node *l, *r;
};

struct node *creat(struct node *root,int x){
        if(root == NULL)    // 如果 root 是空，表示当前是可以把这个点加进去的，就可以放进去了
        {
            root = new node;
            root -> data = x;
            root -> l = NULL;
            root -> r = NULL;
        }
        else {                      //如果不是，考虑两种情况
            if(x > root -> data)   //如果比当前的根节点大，去右子树找
               root -> r = creat(root -> r, x);
            else
               root -> l = creat(root -> l, x);  // 否则去左子树找
        }
        return root;   //别忘记了返回树根！
};

查找：

  // 查询元素（递归）
 Node find(Node T, int key) {
            if (!T || key==T->data) return T;
            else
            if (key < T->data)
                return find(T->left, key);
            else
                return find(T->right, key);
        }

删除结点：

删除要求：
删除后，仍然保持二叉排序树的性质。

概述：
由于中序遍历二叉排序树可以得到一个递增有序的序列。那么,在二叉排序树中删去一个结点相当于删去有序序列中的一个结点，因此我们的操作就是：

  • 将因删除结点而断开的二叉链表重新链接起来
  • 防止重新链接后树的高度增加

删除节点共有三种情况：

目标元素为叶子节点
叶子节点最容易删除，过程如下：
找到，然后删除....

目标元素只有左子树，或只有右子树
删除过程如下

  • 找到目标节点的父节点
  • 判断目标节点是父节点的左子树还是右子树
  • 将父节点的left/right指针设为目标节点不为空的子树。

目标元素即有左子树，也有右子树
该情况删除操作最为复杂
补充两个概念：
前驱： 左子树的最大结点。
后继： 右子树的最小结点。
有两种方法：

  • 法1: 将结点前驱替换该结点，然后删除前驱结点。
  • 法2：将结点后继替换该结点，然后删除后继结点。

题目

7-8 中序遍历树并判断是否为二叉搜索树 (20 分)

树结构练习——排序二叉树的中序遍历

ASL：

含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的 形态有关。
最好情况： ASL=\(\lfloor log_2n \rfloor+1\)（形态比较平衡）

最坏情况： ASL=（n+1）/2 O（n） （单支树的形态）

因此为了提高效率，需要将树尽量平衡，
因此推出平衡二叉树的概念。

平衡二叉树/AVL树

目的:
让二叉树尽量平衡，提高查找效率。

定义：

  1. 可以是空树。
  2. 假如不是空树
    • 是每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1的二叉树 。
    • 任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树。
      性质：
      对于n个结点的AVL树，
      树的高度保持在：\(\lfloor log_2n \rfloor+1\)
      ASL也保持在：\(\lfloor log_2n \rfloor+1\)
      方法：
  • 增加平衡因子（BF）：结点左子树的高度 - 结点右子树的高度。
  • 使每个结点的平衡因子的绝对值小于等于1。

查找操作
平衡二叉树的查找基本与二叉查找树相同。

插入操作
与二叉查找树不同：
插入时要随时保证插入后整棵二叉树是平衡的。
也就是说要实时调整不平衡树。

调整的基本方法是： 旋转 。

插入调整

需要平衡旋转的有4种情况：
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在讨论前要先弄清楚，我们需要调节的树是哪棵：也就是：
最小不平衡子树的根结点是什么：
当进行插入操作时，
找到该需要插入结点的位置并插入后，从该结点起向上寻找（回溯），第一个不平衡的结点即平衡因子bf变为-2或2的结点。
调整的方式有四种：
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虽然调整的步骤看似很麻烦，其实我们只需要记住调整原则即可：
保持二叉树的性质 和 降低高度。

如果是人工调整，四种方式都可以总结为四步：

  1. 找到最小不平衡子树和其根节点.

  2. 从根节点出发，沿插入路径找三个节点。

  3. 调整这三个节点:找出中位数，让中位数作为根节点，其余两个一左一右

  4. 调节三个结点的子树：

    • 调整后的为左右子树的结点子树位置保持不变，
    • 如果还剩一个子树没有位置：人工插入位置。

下面具体讲四种调整方式：
~~不写了，没必要，贴下图示吧

原文

LL型调整
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RR调整
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LR调整
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RL调整

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删除调节好像不需要掌握，不写了。

其他树：

** B-树（深度了解）
就是平衡的多路**查找树

B+树
（深度了解）
是B-树的一种变型
要求：

  1. 所有的叶子结点都是关键字
  2. 叶子结点要有序

散列表-哈希（HASH）函数

概述：

基本概念
基本思想：
记录的储存位置与关键字之间存在对应关系。
也就是以键-值对存储数据的结构，我们只要输入待查找的值即key，即可查找到其对应的值。

优点： 查找效率高
缺点： 空间效率低

我们很容易想到：
用数字数据举例
定义一个数组a[n]，如果有该数据x，再a[x]=1.

但是稍加思索就会发现，上述思想是不可能在任意情况下都实现的：

  1. 不可能任意情况下都有单射的散列函数
    比如数据关键字为任意整数时，关键字-a与a该如何映射？ 　　
  2. 散列表的大小也不可能总是保证大于所有可能的散列值。
    比如数据关键字为正整数，那么散列函数只需要令散列值等于数据关键字即可保证单射，但是如果数据总量为1000，而数据的可能最大值为10000000，难道我们创建一个大小为10000000的散列表吗？

也就是说，
我们实际实现散列表时，必须面对这两个问题：

  1. 构造尽可能“接近”单射的散列函数。（还要求函数简单，转化效率高）
  2. 找到处理冲突的好方案。

冲突：
不同的关键码映射到同一个散列地址。
同义词：
具有相同函数值的多个关键字。

总结一下构造一个号好的散列函数需要考虑：
①执行速度(即计算散列函数所需时间);
② 关键字的长度;
③ 散列表的大小;
④关键字的分布情况;
⑤ 查找频率。

散列函数构造方法

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我们只需要知道：直接定址法和除留余数法

直接定址法：
H(key)=a*key+b
　　　　a 和 b均为常数
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数字分析法：
　　　　分析关键字的各个位的构成，截取其中若干位作为散列函数值，尽可能使关键字具有大的敏感度。

平方取中法：
　　　　这种方法是先求关键字的平方值，然后在平方值中取中间几位为散列函数的值。因为一个数平方后的中间几位和原数的每一位都相关，因此，使用随机分布的关键字得到的记录的存储位置也是随机的。

折叠法：
　　　　将关键字分割成位数相同的几部分(最后一部分的位数可以不同)，然后取这几部分的叠加和(舍去进位)作为散列函数的值，称为折叠法。

除留余数法：
　　　　Hash(key) = key % p
其中，p为不大于散列表表长m的整数

解决冲突

开放地址法

基本思想
有冲突时就去寻找下一个空的散列地址,只要散列表足够大, 空的散列地址总能找到,并将数据元素存入。
常用方法：
线性探测法： di为1，2，3...m-1线性序列
二次探测法 \(d_i为1^2，2^2，3^2...q^2\) 二次序列
伪随机探测法 di为伪随机数序列

链地址法

也称 拉链法
基本思想：
是将所有关键字为同义词的记录存储在同一个线性链表中。
实现：
m个散列地址就开设m个散列表，然后用数组将m个单链表的表头指针储存起来。

优点：

  • 非同义词不会冲突，
  • 链表空间动态申请，更适合表长不确定的情况。

性能分析

查找过程：

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　a为装填因子= n/m 其中n=存入的元素个数，m=哈希表的长度

结论

  1. 平均性能优秀。
  2. 链地址法优于开地址法。
  3. 除留余数法做散列函数优于其他类型函数。
posted @ 2021-12-27 21:18  kingwzun  阅读(217)  评论(0)  编辑  收藏  举报