数据结构 图
图是一种比线性表和树更复杂的数据结构，
在图中，结点之间的关系是任意的，任意两个数据元素之间都可能相关。图是一种多对多的数据结构。
概述
概念：
图（Graph）：
由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成。
通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
注意：线性表和树中可以没有元素；而在图中可以没有边，但是不允许没有顶点，。
网：
带有权重的图
环：
第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；
基本术语：
无向边：
若顶点Vi和Vj之间的边没有方向，称这条边为无向边（Edge），用（Vi，Vj）来表示。
有向边/弧（Arc）：
若从顶点Vi到Vj的边有方向，称这条边为有向边。
用<Vi, Vj>来表示，其中Vi称为弧尾（Tail），Vj称为弧头（Head）。
权（Weight）：
表示从图中一个顶点到另一个顶点的距离。
度：
与顶点相连接的边数；
出度、入度：
有向图中的概念，出度表示以此顶点为起点的边的数目，入度表示以此顶点为终点的边的数目；
图的分类：
按边的类型分类：
-
无向图（Undirected graphs）： 图中任意两个顶点的边都是无向边。
-
有向图（Directed graphs）： 图中任意两个顶点的边都是有向边。
按边的数量分类：
稀疏图与稠密图：
有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
按有无环分类：
- 简单图： 不存在自环（顶点到其自身的边）和重边（完全相同的边）的图
- 简单环： 除去第一个顶点和最后一个顶点后没有重复顶点的环；
其他图的分类：
-
无向完全图： 无向图中，任意两个顶点之间都存在边。
-
有向完全图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。
-
连通图：任意两个顶点都相互连通的图；
极大连通子图：
包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；
连通分量：
极大连通子图的数量；
强连通图：
此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；
储存结构
常用的有：邻接表和邻接矩阵，十字链表
遍历方式
图的遍历通常有两种方法：深度优先遍历和广度优先遍历。
最小生成树（ST）
最短路径
概念：
最短路径：
网中，最短路径是指两个顶点之间经过的边上权值之和最少的路径。
与最小生成树不同，路径上不一定有n个结点，也不一定包含n-1条边
源点：
路径上的第一个顶点。
终点：
路径上的最后一个顶点。
计算最短路径算法：
迪杰斯特拉(Djikstra)算法：单源最短路
佛洛伊德(Floyd)算法： 所有顶点间的最短路径
Djikstra算法
注意：我们不考虑负值圈（边的权值为负数）
迪杰斯特拉算法
作用：
求出单源点最短路径。
也就是能求出任意两个顶点之间的最短路径。（如果有）
思想：
- 初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
- 从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
- 以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
- 重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
Floyd算法
佛洛伊德算法
作用：
所有顶点间的最短路径；
也就说运行一般算法后，任意两个顶点的最短路便就直到了。
思想：
我们知道：从任意节点A到任意节点B的最短路径只有两种情况：
- 1是直接从A到B
- 2是从A经过若干个节点到B。
所以我们只需要将所有情况的中间路径遍历一边，取
dist[i][j] =min（ dist[i][j] ，dist[i][k] + dist[k][j] ）;即可。
拓扑排序
概述
拓扑序列
在AOV网中，若不存在回路，（有向无环图）
则所有活动可排列成一个线性序列，
使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列。
思想：
- 预处理得到每个点的入度
- 执行入度为 0 的点（没有前驱），放入一个待执行的容器，在图中删除，
- 删除在图中以他为弧尾的弧删除。
- 重复上面两步，直到所有顶点均输出/途中不存在无前驱的顶点。
- 如果排序后，还剩下部分点，说明图中有环
- 所有顶点均输出，则图中无环。
关键路径
概述：
AOE网(Activity On Edge Network)
把工程计划表示为边表示活动的网。
用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示活动的持续时间。
常用来估算工程的时间。
事件：
表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
路径长度：
路径上各个活动所持续的事件之和。
关键路径：
从源点到终点具有最大长度的路径。
关键路径可能不止一条
关键活动：
在关键路径上的活动。
Ve(j)：是指从始点开始到顶点Vj的最大路径长度
Vl(j)：在不推迟整个工期的前提下，事件vj允许的最晚发生时间
e(i): 若活动ai由弧<vk,vj>表示，则活动ai的最早开始时间应该等于事件vk的最早发生时间。因而，有：e(i)=ve(k);（即：边（活动）的最早开始时间等于，它的发出顶点的最早发生时间）
思想：
- 先根据首结点的Ve(j)=0由前向后计算各顶点的最早发生时间
- 再根据终结点的Vl(j)等于它的Ve(j)由后向前依次求解各顶点的最晚发生时间
- 根据边的e(i)等于它的发出顶点的Ve(j)计算各边的最早开始时间（最早开始，对应最早发生）
- 根据边的l(i)等于它的到达顶点的Vl(j)减去边的权值计算各边的最晚开始时间（最晚开始，对应最晚发生）
