dp_基础_最长上升子序列

也是非常经典的一道题
比较简单的做法是:
设dp[i] i: 以nums[i]作为一个子数组的，最长的上升子序列
则有
无后效性：i肯定不会影响i之前的。
子问题重叠：算i+1,i+2 .. n 时，都需要dp[i]
最优子结构：for( int j=0;j<i;++j ) if ( nums[j] > nums[i] ) dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);

int ret = 0;
for( int i=0;i<n;++i ){
	scanf("%d",&nums[i]);

	for( int j=0;j<i;++j ){
		if ( nums[j] < nums[i] ){
			dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
		}
	}

	ret = max(dp[i]+1,ret);
}
printf("%d\n",ret);

但是，当 n>=100000 时，很容易超时

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所以需要 更高级的算法
设dp[i] i:最长上升子序列长度等于i时，最后一个数字。当然，有可能会更新dp[i]的值。(取最小值）
则有
无后效性：i肯定不会影响i之前的。又因为数组的顺序，就算修改了dpx 的值，也不会影响dp[i]的值。
子问题重叠：需要用二分法来计算当前值为 i 的最后值。
最优子结构：*lower_bound(dp,dp+n,nums[i]) = nums[i];
附 http://poj.org/problem?id=3903 ac代码

#define NMAX 100005

int nums[NMAX];
int dp[NMAX];

int main(){
	int n;
	while(~scanf("%d",&n)){
		memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
		for( int i=0;i<n;++i ){
			scanf("%d",&nums[i]);
			*lower_bound(dp,dp+n,nums[i]) = nums[i];
		}
		int ret = 0;
		while(dp[ret] <INF ) ++ret;
		printf("%d\n",ret);
	}

	return 0;
}

注：lower_bound() 函数用于在指定区域内查找不小于目标值的第一个元素。即：有可能等于
upper_bound() 函数用于在指定范围内查找大于目标值的第一个元素。即：只能是大于

所以，如果是使用了函数返回的下标的话，insert它， lower_bound() 会删掉重复的 upper_bound() 则不会。
因题意是，递增子序列，所以用lower_bound
如果是，非下降子序列，则用upper_bound