树状数组
先从最简单的开始：
一个数组，需要高效查询区间和。如果这个数组的值不变的话，那么只需要弄个前缀和就可以了。
sum[0] = arr[0];
for( int i=1;i<arr.size(); i++){
sum[i] = sum[i-1] + arr[i];
}
// query i~j
auto ret = sum[j]-sum[i];
如果这个数组值会变的话，那么就要用到树状数组了。因为树状数组可以满足 修改时O(log(n))，查询时O(log(n))。
一般来讲，一个数组里面的值，要么是实际数字，要么是前缀和，都只是一个“意义”
而树状数组，它不一样。它的值是：从这个到那个的区间和。
为了高效（满足修改时O(log(n))，查询时O(log(n))）区间的选择如图（下图来自互联网，侵删）
为什么要这样选择，那是刚好理论（数据上）跟实际（代码高效）很好地结合在一起了。
这个时候，
如果我要修改 原始数组 arr[1] 的值，那么实际上在树状数组中，要修改 1,2,4,8 的值
如果要查询 原始数组arr[1~6]的前缀和，那么在树状数组中就是查询 6,4 的值。
所以，引出三段代码
int lowbit(int x) { return x&-x;}
int add(vector<int>&tArr,int idx,int val){
int len = tArr.size();
for( int i=idx;i<len;i+=lowbit(i)) tArr[i] += val;
}
int getSum(vector<int> &tArr,int idx){
int ret = 0;
for( int i=idx;i>0;i-=lowbit(i)) ret+=tArr[i];
return ret;
}
为什么lowbit可以实现那个，因为所以科学道理（懒，反正嘛，就能实现）
以上就是树状数组最原始的应用了。单点更新，区间查询
此外，还有 区间更新，单点查询 与 区间更新，区间查询
区间更新，单点查询
设数组d[i] = arr[i]-arr[i-1] 作为树状态数组的原始数组。
这样，单点查询即为求和。
区间更新，l~r 增加 x;
则只需要 d[l] 值增加x d[r+1] 值减x 即可。
区间更新，区间查询
依然 设数组d[i] = arr[i]-arr[i-1]
前置和
所以，增加多一个数组
sum1[i]=d[i]，sum2[i]=d[i]∗i 。
查询:
long long getsum(vector<long long> &arr,vector<long long> &arr2,long long idx){
long long ans = 0;
for(int i=idx;i>0;i-=lowbit(i)){
ans += ((idx+1) * arr[i] - arr2[i]);
}
return ans;
}
更新:
void add(vector<long long> &arr,vector<long long>&arr2,long long idx,long long val){
int len = arr.size();
for( int i=idx;i<len;i+=lowbit(i) ){
arr[i] += val;
arr2[i] +=idx*val;
}
}
kth
树状数组是一种可以动态维护序列前缀和的数据结构，但是它也可以用于解决其他问题，比如查找序列中的第k个元素。
以下是一个基本的步骤来查找树状数组中的第k个元素：
- 首先，你需要一个树状数组，其中每个元素表示序列中的一个元素的数量。
- 然后，你可以使用二分搜索来查找第k个元素。你从树状数组的根开始，然后根据左子树的元素数量来决定是向左还是向右搜索。
- 如果左子树的元素数量大于或等于k，那么第k个元素就在左子树中，你应该向左搜索。
- 否则，第k个元素在右子树中，你应该从k中减去左子树的元素数量，然后向右搜索。
- 你重复这个过程，直到找到第k个元素。
以下是一个简单的C++实现：
int findKth(int k) {
int idx = 0;
for(int i = log2(n); i >= 0; i--) {
if(idx + (1 << i) < n && tree[idx + (1 << i)] < k) {
idx += 1 << i;
k -= tree[idx];
}
}
return idx + 1;
}
在这个函数中，n是树状数组的大小，tree是树状数组，log2(n)是树状数组的深度。这个函数返回序列中的第k个元素的索引。
请注意，这个函数假设树状数组是基于0的，也就是说，序列的第一个元素在树状数组中的索引是0。如果你的树状数组是基于1的，你可能需要稍微修改这个函数。
到此就全部介绍完了，附poj3468的代码。
AC代码如下
long long lowbit(long long x)
{
return x & (-x);
}
void add(vector<long long> &arr, vector<long long>&arr2, long long idx, long long val)
{
int len = arr.size();
for (int i = idx; i < len; i += lowbit(i))
{
arr[i] += val;
arr2[i] += idx * val;
}
}
void add_range(vector<long long> &arr, vector<long long> &arr2, long long a, long long b, long long c)
{
add(arr, arr2, a, c);
add(arr, arr2, b + 1, -c);
}
long long getsum(vector<long long> &arr, vector<long long> &arr2, long long idx)
{
long long ans = 0;
for (int i = idx; i > 0; i -= lowbit(i))
{
ans += ((idx + 1) * arr[i] - arr2[i]);
}
return ans;
}
int main()
{
long long N, Q;
cin >> N >> Q;
long long t;
vector < long long> arr(N + 1, 0);
vector < long long> arr2(N + 1, 0);
long long pv = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
cin >> t;
add(arr, arr2, i + 1, t - pv);
pv = t;
}
char Ch;
long long a, b, c;
for (int i = 0; i < Q; i++)
{
cin >> Ch;
if (Ch == 'C')
{
cin >> a >> b >> c;
add_range(arr, arr2, a, b, c);
}
else
{
cin >> a >> b;
long long r = getsum(arr, arr2, b);
long long l = getsum(arr, arr2, a - 1);
cout << r - l << endl;
}
}
return 0;
}
