排列与组合、二项式定理

排列的定义：从n个不同元素中，任取m (m≤n,m与n均为自然数） 个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m (m≤n） 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 $A (n, m)$ 或 $A_{n}^{m}$ 表示。
计算公式： $A_{n}^{m} = \underset{m 个因子}{\underset{⏟}{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1)}} = \frac{n!}{(n - m)!}, 其中 (m \leq n)$
此外规定 $0! = 1$
例： $A_{10}^{4} = \overset{4 个}{\overset{⏞}{10 \times 9 \times 8 \times 7}} = \frac{10!}{(10 - 4)!} = \frac{10!}{6!}$

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 $C (n, m)$ 或 $C_{n}^{m}$ 表示。
计算公式： $C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{m!} = \frac{n!}{m! (n - m)!}, 其中 (n \geq m)$
例： $C_{10}^{4} = \frac{\overset{4 个}{\overset{⏞}{10 \times 9 \times 8 \times 7}}}{\underset{4 个}{\underset{⏟}{4 \times 3 \times 2 \times 1}}} = \frac{10!}{(4!) (10 - 4)!}$

二项式定理：
完全平方公式： $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a + b)^{n} = \underset{n 个}{\underset{⏟}{(a + b) (a + b) \dots (a + b)}} = a^{n} + a^{n - 1} b + a^{n - 2} b^{2} + \dots + b^{n}$
用组合的方式表示： $(a + b)^{n} = \underset{共 n + 1 项}{\underset{⏟}{C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}}}$
通项公式：
$T_{r + 1} = C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r}$

例： $(x + 2 y)^{5}$ 的第 $4$ 项是什么？
解：其中 $n = 5$ ， $r + 1 = 4$ 则 $r = 4 - 1 = 3$
$T_{4} = C_{5}^{3} a^{5 - 3} b^{3} = C_{5}^{3} a^{2} b^{3} = C_{5}^{3} x^{2} (2 y)^{3} = 10 x^{2} (2 y)^{3} = 10 x^{2} 8 y^{3} = 80 x^{2} y^{3}$