排列与组合、二项式定理

排列的定义：从n个不同元素中，任取m (m≤n,m与n均为自然数） 个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m (m≤n） 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号\(A(n,m)\)或\(A^m_n\)表示。
计算公式：\(A_{n}^{m}=\underbrace{n(n-1)(n-2) \ldots(n-m+1)}_{m个因子}=\frac{n !}{(n-m) !},其中(m\le n)\)
此外规定 \(0! = 1\)
例：$A_{10}^{4} =\overbrace{10\times 9\times 8\times 7}^{4个}=\frac{10!}{(10-4)!} =\frac{10!}{6!} $

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 \(C(n,m)\) 或 \(C^m_n\) 表示。
计算公式：\(C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m !}=\frac{n !}{m !(n-m) !} , 其中(n\ge m)\)
例：\(C_{10}^{4} =\frac{\overbrace{10\times 9\times 8\times 7}^{4个} }{\underbrace{4\times 3\times 2\times 1}_{4个} }=\frac{10!}{(4!)(10-4)!}\)

二项式定理：
完全平方公式：\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^2\)

\((a+b)^{n}=\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n个}=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots +b^n\)
用组合的方式表示：\((a+b)^{n}=\underbrace{C_{n}^{0}a^{n}+ C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots +C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}+\cdots +C_{n}^{n}b^{n}}_{共n+1项}\)
通项公式：
\(T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}\)

例：\((x+2y)^{5}\) 的第 \(4\) 项是什么？
解：其中\(n=5\)，\(r+1=4\)则\(r=4-1=3\)
\(T_{4}=C_{5}^{3}a^{5-3}b^{3}=C_{5}^{3}a^{2}b^{3}=C_{5}^{3}x^{2}(2y)^{3}=10x^{2}(2y)^{3}=10x^{2}8y^{3}=80x^{2}y^{3}\)