3.2 直线与方程

3.2.1 直线的点斜式方程
直线 \(l\) 经过点 \(P_0(x_0,y_0)\)，且斜率为 \(k\)，设 \(P(x,y)\) 是直线 \(l\) 上不同于 \(p_0\) 的任意一点，因为 \(l\) 的斜率为 \(k\)，由斜率公式得

\[k=\frac{y-y_0}{x-x_0} \]

即

\[y-y_0=k(x-x0) \]

如果直线 \(l\) 的斜率为 \(k\)，且与 \(y\) 轴的交点为 \((0,b)\)，代入直线的点斜式方程，得

\[y-b=k(x-0)， \]

即
\(y=kx+b \tag{2}\)
我们把直线 \(l\) 与 \(y\) 轴交点为 \((0,b)\) 的纵坐标 \(b\) 叫做直线 \(l\) 在 \(y\) 轴上的截距。方程 \((2)\) 由直线的斜率 \(k\) 与它在 \(y\) 轴上的截距 \(b\) 确定，所以方程 \((2)\) 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。

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3.2.2直线的两点式方程
当 \(x_1 \neq x_2\) 时， 所求直线的斜率 \(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，任取 \(P_1\)，\(P_2\) 中的一点，例如，取 \(P_1(x_1,y_1)\)，由点斜式方程，得

\[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1), \]

当 \(y_2 \neq y_1\) 时，可写为

\[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \]

这就是经过两点 \(P_1(x_1,y_1)\)，\(P_2(x_2,y_2)\)（其中\(x_1 \neq x_2\)，\(y_1 \neq y_2\)）的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式

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3.2.3直线的一般式方程
任意一条直线 \(l\) ，在其上任取一点 \(P_0(x_0,y_0)\)，当直线 \(l\) 的斜率为 \(k\) 时（引时直线的倾斜角 \(a=90^o\)），其方程为
\(y-y_0=k(x-x_0) \tag{1}\)
这是关于 \(x，y\) 的二元一次方程。
当直线 \(l\) 的斜率不存在，即直线 \(l\) 的倾斜角 \(a=90^o\) 时，直线的方程为
\(x-x_0=0，\tag{2}\)
方程 \((2)\)可以认为是关于 \(x,y\) 的二元一次方程，此时方程中的 \(y\) 的系数为 0.
方程 \((1)\) 和方程 \((2)\) 都是二元一次方程，因此平面上任意一条直线都可以用一个关于 \(x，y\) 的二元一次方程表示。
现在探讨问题：每一个关于 \(x,y\) 的二元一次方程都表示一条直线吗？
对于任意一个二元一次方程
\(Ax+By+C=0 \ (A,B不同时为0), \tag{3}\)
判断它是否表示一条直线，就看能否把它化成直线方程的某一种形式。
当 \(B \neq 0\) 时，方程 \((3)\) 可变形为
$$y=- \frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$$
它表示过点 \((0，- \frac{C}{B})\)，斜率为 \(-\frac{A}{B}\) 的直线
由上可知，关于 \(x，y\) 的二元一次方程，它都表示一条直线。
我们把关于 \(x,y\) 的二元一次方程
\(Ax+By+C=0 \ (A，B不同时为0)\tag{5}\)
叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.
求直线的点斜式和一般式方程
例5 已知直线经过点 \(A(6，-4)\)，斜率为 \(-\frac{4}{3}\)，求直线的点斜式和一般式方程。
解：经过点 \(A(6，-4)\)，斜率等于 \(-\frac{4}{3}\)的点斜式方程是
$$y+4=- \frac{4}{3}(x-6)$$
化成一般式，得
$$4x+3y-12=0$$

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3.3.3 点到直线的距离
如下图，设 \(A \neq 0，B \neq 0\)，则直线 \(l\) 与 \(x\) 轴和 \(y\) 轴都相交，过点 \(P_0\) 分别作 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的平行线，交直线 \(l\) 于 \(R\) 和 \(S\)，则直线 \(P_0R\) 的方程为 \(y=y_0\)，\(R\) 的坐标为 \(\left(- \frac{By_0+C}{A}，y_0 \right)\)；直线 \(P_0S\) 的方程为 \(x=x_0\)，\(S\) 的坐标为 \(\left(x_0，- \frac{Ax_0+C}{B} \right)\) 。

于是有 $\begin{aligned} \left | P_0R \right |&=\left |-{\frac{By_0+C}{A}}-x_0 \right |= \frac{\left |Ax_0+By_0+C\right |}{\left | A\right |}\\ \left | P_0S \right |&=\left |- \frac{Ax_0+C}{B}-y_0\right |=\frac{\left |Ax_0+By_0+C\right |}{\left | B\right |}\\ \left | RS \right |&=\sqrt{{ \left | P_0R \right |}^2+{\left |P_0S \right |}^2}=\frac{\sqrt{A^2+B^2}}{\left | A \right | \left | B \right |} \left | Ax_0+By_0+C \right | \end{aligned}$

设 \(\left | P_0Q \right |=d\) ，由三角形面积公式可得

\[d\cdot \left | RS \right |=\left | P_0R \right |\cdot \left | P_0S \right | \]

于是得

\[d=\frac{\left |P_0R \right |\cdot \left | P_0S \right |}{RS}=\frac{\left | Ax_0+By_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

因此，点 \(P_0(x_0，y_0)\) 到直线 \(l: Ax+By+C=0\) 的距离

\[d=\frac{\left | Ax_0+By_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}} (A，B不能同时为0) \]

例5 求点 \(P_0(-1，2)\)到直线 \(l:3x=2\) 的距离。
解：

\[d=\frac{\left |3\times (-1))-2 \right |}{\sqrt{3^2+0^2}}=\frac{5}{3} \]