2.5 等比数列的前n项和

一般地，对于等比数列

\[a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots, \]

它的前\(n\)项和是

\[S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n. \]

根据等比数列的通项公式，上式可写成

\[S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n-1}.\ \ ① \]

我们发现，如果用比\(q\)乘①的两边，可得

\[qS_n=a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n-1}+a_1q^{n},\ \ ② \]

① ②的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得

\[(1-q)S_n=a_1-a_1q^n. \]

当\(q\neq1\)时，等 比数列的前\(n\)项和的公式为

\[S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \ (q\neq1). \]

因为\(a_n=a_1q^{n-1}\)，所以上面的公式还可以写成

\[S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q} \ (q\neq1). \]