2.3 等差数列的前n项和

一般地，我们称
$$a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$$
为数列\(\{a_n\}\)的前n项和，用\(S_n\)表示，即
$$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n.$$
由高斯算法的启示，对于公差为\(d\)的等差数列，我们用两种方式表示\(S_n\)：
$$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\ldots+[a_1+(n-1)d],\ \ \ \ ①$$
$$S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+\ldots+[a_n-(n-1)d].\ \ \ \ ②$$
由①+②，得
$$2S_n=(a_1+\underbrace{a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\ldots+(a_1}_{n个}+a_n)=n(a_1+a_n)$$
由此得到等差数列\(a_n\)的前\(n\)项和的公式
$$S_n= \frac{n(a_1+a_n)}{2}$$
如果代入等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(S_n\)也可以用首项\(a_1\)与公差\(d\)表示，
即
$$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$$