最佳加法表达式(dp)

题目描述：

有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加 号插入到这个数字串中,在各种可能形成的 表达式中，值最小的那个表达式的值是多少 (本题只能用于整数)

解题思路：

假定数字串长度是n，添完加号后,表达式的最后一个加号添加在第 i 个数字后面，那么整个表达 式的最小值，

就等于在前 i 个数字中插入 m – 1 个加号所能形成的最小值，加上第 i + 1到第 n 个数字所组成的数的值（i从1开始算）。

设dp(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成 的表达式最小值，那么：

if m = 0

　　dp(m,n) = n个数字构成的整数

else if n < m + 1

　　 dp(m,n) = ∞

else

　　 dp(m,n) = Min{ dp(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1) 

Num(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操 作复杂度是O(j-i+1)，可以预处理后存起来。 总时间复杂度：O(mn2) .

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N  100 + 5
#define INF 0x3f3f3f
int dp[N][N]; 
int num[N][N];
int v[N];
int main() {
    int n, m;
    while(cin >> n >> m) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            num[i][i] = v[i];
            for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
                num[i][j] = num[i][j-1]*10 + v[j];//预处理，方便取出从i到j的值
            } 
        } 
        memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));//把dp初始化为无穷大
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[0][i] = num[1][i];
        }
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = i; j <= n; j++) {
                for(int k = i; k < j; k++) {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k] + num[k+1][j]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[m][n]);    
    }
    return 0;
}