全局倒置与局部倒置：统计是否有不相邻的逆序对

全局倒置与局部倒置

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这道题目来自Leetcode 22/11/16每日一题：https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions

给你一个长度为 n 的整数数组 nums ，表示由范围 [0, n - 1] 内所有整数组成的一个排列。
全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 (i, j) 的数目：
0 <= i < j < n
nums[i] > nums[j]
局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：
0 <= i < n - 1
nums[i] > nums[i + 1]
当数组 nums 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：
输入：nums = [1,0,2]
输出：true
解释：有 1 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

示例 2：
输入：nums = [1,2,0]
输出：false
解释：有 2 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

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所谓全局倒置，就是逆序对；
所谓局部倒置，就是相邻且逆序。

这样，可以看出，“局部倒置”是包含在“全局倒置”中的。而现在，需要判断“全局倒置”和“局部倒置”是否相等，就相当于判断：

• 是否有不相邻的“全局倒置”；
• 如果有，那么它们是不相等的；
• 如果没有，就说明所有的“全局倒置”都是“局部倒置”，即它们是相等的。

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方法1，暴力法判断是否有不相邻逆序对

通过以上思路发现，我们只需要判断是否有不相邻的逆序对。简单地，可以通过暴力方法来寻找：

/**
 * 暴力方法判断是否有不相邻的逆序对
 * 226 / 226 个通过测试用例
 * 时间复杂度O(n2)，空间复杂度O(1)
 * 状态：超出时间限制
 */
class Solution {
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        for(int i = 0; i < nums.length; ++i) {
            for(int j = i+2; j < nums.length; ++j) {
                if(nums[i] > nums[j]) return false;
            }
        }
        return true;
    }
} 

很可惜，暴力方法会超出时间限制。此时，需要对时间复杂度进行优化。

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方法2：在时间复杂度为O(n)情况下判断是否有不相邻的逆序对

事实上，是可以通过O(n)时间复杂度来判断是否有不相邻的逆序对的。

我们想，我们并不需要统计逆序对的个数，那么二维遍历似乎是不必要的，我们只需要判断是否存在不相邻逆序对。可以发现，如果一个数，只要比这个数之前最大的要小，那么就至少存在一个逆序对，例子如下：

2 5 8 7 6

我们考虑6，在这个序列中是否存在有关6的逆序对呢？是存在的，因为6要比它之前的最大值8要小，那么至少会存在一个逆序对：

<8,6>

而我们无需关系是否还有其他有关6的逆序对，只要判断有或无就可以了。
(ps.这很像NP问题，多项式时间不可解但可验证，这个问题是O(n)时间不可解但可判断是否存在)

那么，就可以对代码进行如下修改：

/**
 * O(n)时间复杂度情况下判断是否有不相邻的逆序对
 * 226 / 226 个通过测试用例
 * 时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
 * 状态：通过
 * 执行用时: 1 ms
 * 执行用时超过100%的Java提交记录
 * 执行消耗内存超过55%的Java提交记录
 */
class Solution {
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        int max = nums[0];
        for(int i = 2; i < nums.length; ++i) {
            if(nums[i] < max) return false;
            max = Math.max(nums[i-1], max);
        }
        return true;
    }
}