组合数学--Polya 原理及典型应用

 

Redfield-Polya （Pólya enumeration theorem，简称PET）定理是组合数学理论中最重要的定理之一．自从 1927 年 Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，他在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了一类具有组合意义的计数的规律性．

抽象地说在一集合内，定义了一个等价关系，人们往往关心由这个等价关系所决定的等价类的数目，Refield-Polya 理论就是为解决这类问题而发展起来的复杂计数理论．

 

 

 

关于Polya原理的应用经典实例：

 

问题：用两种颜色去染排成一个圈的6个棋子，如果通过旋转得到只算作一种。问有多少种染色状态。

 

解：先将棋子表上号：

            1

6   2

5   3

  4

 

那么把所有通过旋转m（m大于等于0小于等于5）步的写出来：

    1                  6               5

     6    2             5   1          4   6

     5    3             4   2          3   1

        4                  3               2

  (m=0)              (m=1)       (m=2)

 

        4                  3               2

     3    5             2   4          1    3

     2    6             1   5          6    4

        1                  6                5

  (m=3)              (m=4)       (m=5)

 

然后写出每种的置换群：

   1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6

   1 2 3 4 5 6       6 1 2 3 4 5       5 6 1 2 3 4

       m= 0                 m=1                m=2

 

   1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6

   4 5 6 1 2 3       3 4 5 6 1 2       2 3 4 5 6 1

        m=3               m=4                 m=5

（第一行是原来每位的数字，后一行为现在每位数字）

化简：

(1)(2)(3)(4)(5)(6)      (1,6,5,4,3,2)    （1,5,3）(2,6,4)

(1,4)(2,5)(3,6)          (1,3,5)(2,4,6)     (1,2,3,4,5,6)

  (每个数对应下一个数，接着再找下一个数的对应数，遇到循环加括号）

 

最后，根据Polya原理：

Answer=(2^6+2^1+2^2+2^3+2^2+2^1)/6=14

（2表示两种颜色，幂表示每种的括号数，除以6表示有6种）

 

非常神奇的东西，不知道为什么，也不清楚具体的定义是什么（看也看不懂），反正这个典型就是这么牛的被解掉了！

 

参考：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aba84bd010005rc.html

http://www.cnblogs.com/hankers/archive/2012/02/16/2354397.html