卡特兰数

 

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

卡特兰数Cn满足以下递推关系[1]  ：

 

原理

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令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[2]  ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[3]  ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

 

应用

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实质上都是递推等式的应用

 

1.括号化

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)[4] 

 

2.出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

 

3.凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

 

 

4.给定节点组成二叉搜索树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？

（能构成h（N）个）

（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

 

5.n对括号正确匹配数目

给定n对括号，求括号正确配对的字符串数，例如：

1对括号：() 1种可能

2对括号：()() (()) 2种可能

3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能

那么问题来了，n对括号有多少种正确配对的可能呢？

实际上假设S(n)为n对括号的正确配对数目，那么有递推关系S(n)=S(1)S(n)+S(2)S(n-1) +...+S(n)S(1)，显然S(n)是一个卡特兰数。

 简单实现：

#include "stdio.h"
#define LL long long
LL h[1005];
void f()
{
    h[1]=1;
    for(LL i=2;i<1005;i++)
    {
        h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    }
}
int main()
{
    f();
    LL n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        printf("%lld\n",h[n]);
    }
}

 

 HDU1023对应应用2，与大数结合

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static BigInteger[] h=new BigInteger[105];
    static void catalan(){
        h[0]=BigInteger.ONE;
        h[1]=BigInteger.ONE;
        for(int i=2;i<105;i++){
            h[i]=h[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n;
        @SuppressWarnings("resource")
        Scanner cin=new Scanner(System.in);
        catalan();
        while(cin.hasNext()){
            n=cin.nextInt();
            System.out.println(h[n]);
        }
    }
}

h(100)=896519947090131496687170070074100632420837521538745909320

 

 Catalan三角形是这样的一个三角形,它的每个元素都是其上面的元素与其左边元素的和.Catalan三角形每一行最后一个元素是前一行元素的和.
Catalan三角形数,输入一个行号n,输出n-1行的Catalan三角形.

1
1 1
1 2 2
1 3 5 5
1 4 9 14 14
1 5 14 28 42 42
1 6 20 48 90 132 132