归并排序应用题

感谢_Darwin

 

首先，明确两个概念：

逆序对：数列a[1],a[2],a[3]…中的任意两个数a[i],a[j] (i<j)，如果a[i]>a[j],那么我们就说这两个数构成了一个逆序对.

逆序数：一个数列中逆序对的总数.

传送门POJ1804

题目简述：为一组数排序，只允许交换相邻两数，求排好序要交换的次数

 

解题思路：每次交换只能减少一个逆序，而且必定能减少一个逆序，从而问题就转换为求逆序个数了。这题数据规模很小，暴力可过。

我这里提供了用Merge_sort的方法求解逆序数，时间复杂度为O(nlogn).

 

关于归并排序：归并排序是将数列a[l,r]分成两半a[l,mid]和a[mid+1,r]分别进行归并排序，然后再将这两半合并起来。

在合并的过程中（设l<=i<=mid，mid+1<=j<=r），当a[i]<=a[j]时，并不产生逆序数；当a[i]>a[j]时，在前半部分中比a[i]大的数都比a[j]大，将a[j]放在a[i]前面的话，逆序数要加上mid+1-i。因此，可以在归并排序中的合并过程中计算逆序数。

#include<cstdio>
#define N 1000+10

int ans=0;
int f[N],t[N];
void Merge(int l,int m,int r) //左右两个表合并成一个表
{
    int i=l,j=m+1,cnt=0;
    while(i<=m && j<=r)
    {
        if(f[i]<=f[j])
            t[cnt++]=f[i++];
        else
        {
            ans+=m-i+1;
            t[cnt++]=f[j++]; //核心代码，求解逆序数个数。
        }
    }
    while(i<=m) //若左表不空
        t[cnt++]=f[i++];
    while(j<=r) //若右表不空
        t[cnt++]=f[j++];
    for(int k=0;k<cnt;) //修改原数组
        f[l++]=t[k++];
}
void Merge_sort(int l,int r) //归并排序
{
    if(l==r)
        return ;
    else
    {
        int m=(l+r)>>1;
        Merge_sort(l,m);
        Merge_sort(m+1,r);
        Merge(l,m,r);
    }
}
int  main()
{
    int T,cas=0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&f[i]);
        ans=0;
        Merge_sort(0,n-1);
        printf("Scenario #%d:\n%d\n\n",++cas,ans);
    }
    return 0;
}

例题2：POJ 2299.    点击打开链接

跟上题没有什么区别，但n较大，O（n^2)的算法必然超时，故必须使用Merge_sort,同时注意要使用 long long 

 

例题3：例题3： hdu 4911.  点击打开链接 

题意：

inversion,求倒序数变形

规定最多交换k次，求交换后序列的逆序数     LL

#include "cstdio"
#define N 500010
#define LL long long
LL ans=0;
LL f[N],t[N];
void Merge(int l,int m,int r)
{
    int i=l,j=m+1,cnt=0;
    while(i<=m&&j<=r)
    {
        if(f[i]<=f[j])
        {
            t[cnt++]=f[i++];
        }
        else
        {
            ans+=m-i+1;
            t[cnt++]=f[j++];
        }
    }
    while(i<=m)t[cnt++]=f[i++];
    while(j<=r)t[cnt++]=f[j++];
    for(int k=0;k<cnt;k++)
        f[l++]=t[k];
}
void Merge_sort(int l,int r)
{
    if(l==r)
        return ;
    int m=(l+r)/2;
    Merge_sort(l,m);
    Merge_sort(m+1,r);
    Merge(l,m,r);
}
int main()
{
    int t,n,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k)&&n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld",&f[i]);
        ans=0;
        Merge_sort(0,n-1);
        if(ans<=k)
            ans=0;
        else
            ans-=k;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}