数论--扩展欧几里得算法
学习：扩展欧几里德算法详解
欧几里德有个十分有用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法
1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 return b==0?a:gcd(b,a%b); 4 }
扩展欧几里德：
现在我们知道了a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解
ax1+by1=ax2+by2
a(x1-x2)=b(y2-y1) 两边同除以g a'(x1-x2)=b'(y2-y1),a' b'互质
则x1-x2定是b'的整数倍，y2-y1=ka' (x0+ka',y0-ka')
现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。
我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd
当然这是最终状态gcd(a,0)=1*a-0*0=a，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？
假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？
我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：两状态的关系
gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)
对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？
这里：
x = y1
y = x1 – a/b*y1
以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：
1 int e_gcd(int a,int b,int &x,int &y)///由x=1,y=0回溯 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1;y=0; 6 return a; 7 } 8 int ans=e_gcd(b,a%b,x,y); 9 int temp=x; 10 x=y; 11 y=temp-a/b*y; 12 return ans; 13 }
欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y
用处之一求乘法逆元
求不定方程ax+b+c=0的整数解
设a,b,c为任意整数，g=gcd(a,b),方程ax+by=g的一组解为(x0,y0)
1.当c是g的倍数时，方程的一组解是(x0*c/g,y0*c/g)
2.当c不是g的倍数时 无整数解
