素数

素数/质数/prime number

除了1和它本身以外不再有其他的除数整除，最小的质数是2。

质数具有许多独特的性质：
（1）质数p的约数只有两个：1和p。
（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
（3）质数的个数是无限的。
（4）质数的个数公式 𝜋(n)是不减函数。
　　x越大时，𝜋(𝑥)与x的比值越接近0
　　x越大时，𝜋(𝑥)与x/log⁡𝑥 的比值越接近1
（5）若n为正整数，在𝑛^2到〖(𝑛+1)〗^2 之间至少有一个质数。
（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到n!之间至少有一个质数。
（7）若质数p为不超过n( n≥4 )的最大质数,则 p>𝑛/2 。
（8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。

///筛法求素数
要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于√n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。
给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。
先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；
再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；
接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

///求n以内的所有质数
const int NUM=1000004;
bool tag[NUM];///false是素数  素数打表
int prime[79000],np=0;
void Prime1()
{
    tag[0]=tag[1]=true;
    int i=0,j=0;
    for(i=2;i<NUM;i++)
    {
        if(tag[i]==false){
            prime[np++]=i;
            for(j=i;j<NUM;j+=i){
                tag[j]=true;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    Prime1();
    for(int i=0;i<10000;i++){
        cout<<prime[i]<<endl;
    }
}

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1164

/**给一正整数x （1 < x<= 65535 ），将x分解为素数相乘的形式

e.g. 11->11
9412->2*2*13*181
*/

const int NUM=65540;
int p[NUM];
void prime()
{
    p[0]=p[1]=1;
    int i=2,j=0;
    for(i=2;i<NUM;i++)
    {
        if(p[i]==0)
        {
           for(j=i+i;j<NUM;j+=i){
                p[j]=1;
           }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    prime();
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(p[n]==0)
        {
            printf("%d",n);
            continue;
        }else
        {
            int j=0,i=2;
            while(n>1)
            {
                if(p[i]==0)///质数
                {
                    while(n%i==0)///整除  用while  同一个质数多次相乘
                    {
                        if(j==0)
                        {
                            printf("%d",i);
                            j++;
                        }else
                        {
                            printf("*%d",i);
                        }
                        n/=i;
                    }
                }
                i++;
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

 

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1492
/**
素数因子只含2,5,3,5,7的数为humble number
现在给一个humble number n，请给出因子个数

注：多组输入，n为64位正数
*/
/**
所用性质：

一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：N=𝑃_1^(a_1 ) 𝑃_2^(a_2 )…𝑃_𝑛^(a_𝑛 )，素数乘积
那么它的正因数个数为 𝜎_0 (𝑁)=(1+𝑎_1) (1+𝑎_2)…(1+𝑎_𝑛)。

它的全体正因数之和为 𝜎_1 (𝑁)=(1+𝑃_1^1 +𝑃_1^2+…+𝑃_1^(a_1 )) (1+𝑃_2^1 +𝑃_2^2+…+𝑃_2^(a_2 ))…(1+𝑃_𝑛^1 +𝑃_𝑛^2+𝑃_𝑛^(a_𝑛 ))。
当 𝜎_1 (𝑁)=2 𝑁时就称N为完全数。

*/

问题转变为求，a1,a2,a3,a4

int main()
{
    long long n;
    while(~scanf("%lld",&n)&&n)
    {
        int a=1,b=1,c=1,d=1;
        while(n!=1){
            if(n%2==0)
            {
                n/=2;
                a++;
            }

            if(n%3==0)
            {
                n/=3;
                b++;
            }

            if(n%5==0)
            {
                n/=5;
                c++;
            }

            if(n%7==0)
            {
                n/=7;
                d++;
            }
        }
        printf("%d\n",a*b*c*d);
    }
    return 0;
}