数论基础
ExGcd
以下将通过一个具体的例子，详细演示扩展欧几里得算法（ExGCD）的过程。我们将选择一对整数，逐步展示如何使用 ExGCD 计算它们的最大公约数（GCD）以及对应的贝祖系数。
示例问题
题目： 使用扩展欧几里得算法求解 $ \gcd(252, 198) $，并找到整数 $ x $ 和 $ y $，使得：
\[252x + 198y = \gcd(252, 198)
\]
解题步骤
步骤一：应用欧几里得算法求 GCD
首先，我们使用欧几里得算法来计算 $ \gcd(252, 198) $。
\[\begin{align*}
252 &= 198 \times 1 + 54 \quad &(\text{余数 } r_1 = 54) \\
198 &= 54 \times 3 + 36 \quad &(\text{余数 } r_2 = 36) \\
54 &= 36 \times 1 + 18 \quad &(\text{余数 } r_3 = 18) \\
36 &= 18 \times 2 + 0 \quad &(\text{余数 } r_4 = 0) \\
\end{align*}
\]
因此，$ \gcd(252, 198) = 18 $。
步骤二：回代求解贝祖系数
接下来，通过扩展欧几里得算法回代，找到整数 $ x $ 和 $ y $，使得：
\[252x + 198y = 18
\]
我们从最后一个非零余数开始回代：
- 从第三步开始：
\[18 = 54 - 36 \times 1 \quad (1)
\]
- 将第二步的余数 $ 36 $ 用第一步的等式表示：
\[36 = 198 - 54 \times 3 \quad (2)
\]
- 将等式 (2) 代入等式 (1)：
\[18 = 54 - (198 - 54 \times 3) \times 1 = 54 - 198 + 54 \times 3 = 54 \times 4 - 198
\]
即：
\[18 = 54 \times 4 - 198 \quad (3)
\]
- 将第一步的余数 $ 54 $ 用原始数 $ 252 $ 和 $ 198 $ 表示：
\[54 = 252 - 198 \times 1 \quad (4)
\]
- 将等式 (4) 代入等式 (3)：
\[18 = (252 - 198) \times 4 - 198 = 252 \times 4 - 198 \times 4 - 198 = 252 \times 4 - 198 \times 5
\]
因此，贝祖等式的解为：
\[x = 4, \quad y = -5
\]
即：
\[252 \times 4 + 198 \times (-5) = 18
\]
步骤三：验证结果
我们可以通过计算验证上述结果是否正确：
\[252 \times 4 + 198 \times (-5) = 1008 - 990 = 18
\]
验证无误。
步骤四：总结
通过上述步骤，我们使用扩展欧几里得算法成功地找到了 $ \gcd(252, 198) = 18 $，以及满足贝祖等式的整数 $ x = 4 $ 和 $ y = -5 $。
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