忆点点数论--质数与约数

0x31质数

定义:

~~不会就getout~~

判定:

试除法

筛法（求1到n内的素数）：

Eratosthenes筛法

代码

prt[1]=1;
 for(int i=2;i<=n;i++){
     if(prt[i])continue;
     for(int j=i;j*i<=n;j++) prt[i*j]=1;

时间复杂度： $O(\sum_{\text{质数}p\leq N} \frac{N}{p} )=O(N\log\log{N})$。

线筛

代码:

prt[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
   if(!prt[i])pr[++cnt]=i;
   for(int j=1;pr[j]*i<=n;j++){
     prt[i*pr[j]]=1;
     if(!(i%pr[j]))break;//此句为重点，后面筛时可用更小的pr[j]代替
   }
 }

时间复杂度: $O(n)$。

算术基本定理

任意一个大于1的数N，可写作：

\[N=p_{1}^{c_{1}}p_{2}^{c_{2}}p_{3}^{c_{3}}\!...p_{m}^{c_{m}} \]

$c^i$ 都为正整数， $p^i$ 都为质数，且满足 $p_1\!<p_2\!<\! ... <\!p_m$ 。

调和级数

\[f(n)=\sum_{i=1}^{n}\!\dfrac{1}{i}=\ln{x}\!+\!\gamma+\!\varepsilon_n\approx\ln{n}\approx\log{n} \]

素数分布

$N$以内质数个数：

\[F(N)\approx \frac{N}{\ln{N}} \]

即每$\ln{N}$个数中可能有一个质数
则暴力求第一个比$x$大（或小）的数的时间复杂度为$O(\sqrt{x}\ln{x})$。$x\le 1e14$可1s过

P1835 素数密度

题目描述

给定 $L,R$，请计算区间 $[L,R]$ 中素数的个数。

$1\leq L\leq R < 2^{31}$，$R-L\leq 10^6$。

poof：

观察到 $R-L$ 很小，且任意一个合数 $n$ 都必定包含一个不超过 $\sqrt{n}$ 的质因子。
所以，我们只需要筛出 $2$~$\sqrt{R}$ 之间的所有质数。对于每个 $p$ 把 $[L,R]$ 中 $p$ 的倍数筛掉。最后 $[L,R]$ 之间未被筛去的便是质数

时间复杂度： $O(\sum_{\text{质数}p\leq \sqrt{R}} \frac{R-L}{p} )=O(\sqrt{R}\log\log{\sqrt{R}}+(R-L)\log\log{R})$。

P10495 阶乘分解

题目描述

给定整数 $N (3 \le N \le 10^6)$，试把阶乘 $N!$ 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 $p_i$ 和 $c_i$ 即可。

poof：

我们可以先筛出 1~n 内每个质数 $p$ ，再逐个考虑 $N!$ 中有几个 $p$ 。
看 $N!$ 中有几个 $p$ ,只需要看 $1$ ~ $N$ 中每个数有几个 $p$ 。
至少有一个 $p$ 的数的个数为：$\lfloor \frac{N}{p}\rfloor$，
至少有两个 $p$ 的数个数为： $\lfloor \frac{N}{p^2}\rfloor$，
但因与一个$p$ 所计算的有重复，因此只需要计算一次。
综上所述， $N!$ 的 $p$ 的个数为：

\[\lfloor\frac{N}{p}\rfloor+\lfloor\frac{N}{p^2}\rfloor+\lfloor\frac{N}{p^2}\rfloor+\!...+\lfloor\frac{N}{p^{\lfloor\log_{p}\!{N}\rfloor}}\rfloor=\sum_{p^k\leq N}\lfloor\frac{N}{p^k}\rfloor \]

$1$~$N$ 中质数约有$O(N/\log{N})$个，每个质数计算所需时间复杂度为 $O(\log{N})$ 因此总体时间复杂度为：$O(N)$。

0x32 约数

定义：

你猜

算数基本定理推论：

若正整数 $N$ 被唯一分解为 $N=p_{1}^{c_{1}}p_{2}^{c_{2}}p_{3}^{c_{3}}\!...p_{m}^{c_{m}}$ ,$c^i$ 都为正整数， $p^i$ 都为质数，且满足 $p_1\!<p_2\!<\! ... <\!p_m$ ，则 $N$ 的正约数集合可表示为：

\[\{p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}p_{3}^{b_{3}}\!...p_{m}^{b_m}\},其中\, 0\!\leq\! b_i\!\leq\!c_i \]

$N$ 的正约数个数为：

\[\prod_{i=1}^{m}(c_i+1) \]

正约数和为：

\[\prod_{i=1}^{m} \left(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j\right) \]

试除法

一个正整数$N$因数的上界为$2\sqrt{N}$。

倍数法

$1$~$N$每个数约数个数的总和约为 $N\log{N}$。

P1463 [POI 2001 ] [HAOI2007] 反素数

题目描述

对于任何正整数 $x$，其约数的个数记作 $g(x)$。例如 $g(1)=1$，$g(6)=4$。

如果某个正整数 $x$ 满足：$\forall 0 \lt i \lt x$，都有 $g(x) \gt g(i)$，则称 $x$ 为反质数。例如，整数 $1,2,4,6$ 等都是反质数。

现在给定一个数 $N$，你能求出不超过 $N$ 的最大的反质数么？

$1 \leq N \leq 2 \times 10^9$

poof:

引理1：
$1$~$N$中最大的反质数是因数最多的数中最小的一个。

证明：
反证法：假定$1$~$N$中最大反质数为 $p$ ，且不为引理所说，设引理所说数为 $x$ 。
若 $x\!<\!p$，因 $p$ 的因数个数$\leq\!x$ 的因数个数，$p$ 不为反质数，矛盾。
若 $x\!>\!p$，由设定得 $x$ 必为反质数且 $x\!>\!p$ 与所求矛盾。
证毕

引理2：
所得反质数质因子个数最多$10$个，且质因子指数和最大不超过$30$。

证明：~自己算~。

引理3：
反素数在质因数分解后质因子必定连续且质因数次幂必定单调不升。

证明：
若该数质因子不连续，则可用一个与该数最大质因子同次幂的较小质因子替换最大质因子，此时新数更小且因数个数与原数相同，则原数不为反素数。
次幂单调不升同理。

由上面3个引理，我们可以采用 $DFS$ 搜索完成本题。

时间复杂度: $O($~~米奇妙妙屋~~$)$。

整除分块

对于 $\forall ~i\!\in\![1,n]\cup\N^+$ 设 $f(i)=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 将所有 $f(i)$ 相等 $i$ 分为一块。

向下取整性质：$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor\!=\!y\Rightarrow\lfloor \frac{n}{y}\rfloor\!=\!x (x\leq y)$。

试求 $\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$

发现该求和中有较多部分数字相等且连续，考虑对于相等且连续部分一并求和，以此优化。

考虑一块连续且相等的部分的左端点与右端点。

左端点一开始显然为1，后面的块的左端点则是前一个块右端点的下一个。

设左端点所在位置为 $x$ 设右端点为 $y$ ,则 $y$ 满足 $\lfloor k/y\rfloor=\lfloor k/x\rfloor$且 $\lfloor k/y+1\rfloor\ne\lfloor k/x\rfloor$ ，易得 $y$ 为 $\lfloor k/\lfloor k/x\rfloor\rfloor$。

知道块的左右端点且该块中值都相等，方可在$O(1)$时间内求出一个块的答案。

时间复杂度：

当 $i\leq\sqrt{k}$ 时 $\lfloor \frac{k}{i}\rfloor\ge\sqrt{k}$ 此时取值最多 $\sqrt{k}$ 个。

当 $i>\sqrt{k}$ 时 $\lfloor \frac{k}{i}\rfloor<\sqrt{k}$ 此时取值最多依然 $\sqrt{k}$ 个。

故块最多有 $2\sqrt{k}$ 个。

因此时间复杂度为 $O(\sqrt{k})$。

P2424 约数和

题目描述

对于一个数 $X$，函数 $f(X)$ 表示 $X$ 所有约数的和。例如：$f(6)=1+2+3+6=12$。对于一个 $X$，Smart 可以很快的算出 $f(X)$。现在的问题是，给定两个正整数 $X,Y(X<Y)$，Smart 希望尽快地算出 $f(X)+f(X+1)+……+f(Y)$的值，你能帮助 Smart 算出这个值吗？

$1\leq X<Y\leq 2\times 10^9$。

可以将 $\sum_{i=X}^{Y}\!f(i)$ 变为 $\sum_{i=1}^{Y}\!f(i)-$ $\sum_{i=1}^{X-1}\!f(i)$ ,则我们需要求 $\sum_{i=1}^{n}\!f(i)$ 。

逐个考虑每个约数对答案的贡献，可得到下面式子：

\[\sum_{i=1}^{n}\!f(i)=\sum_{i=1}^n i*\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \]

考虑整除分块，发现一个块内的值为等差数列，使用等差数列求和即可。

时间复杂度：$O(\sqrt{Y})$ 。

code:

ll ssum(ll n){
	ans=0;ll k=n;
	for(ll x=1,gx;x<=n;x=gx+1){
		gx=k/x?min(k/(k/x),n):n;
		ans+=(k/x)*(x+gx)*(gx-x+1)/2;
	}
	return ans;
}

Floor and Mod

题目描述

求 $1\le a\le x,1\le b\le y$ 且 $\lfloor\frac{a}{b}\rfloor =a\bmod b$ 的$(a,b)$ 个数。

poof：

\[\lfloor\frac{a}{b}\rfloor =a\bmod b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor *b \]

\[\lfloor\frac{a}{b}\rfloor =\frac{a}{b+1} \]

因此 $a$ 为 $b+1$ 的倍数

且

\[\lfloor\frac{a}{b}\rfloor=a\bmod b=\frac{a}{b+1}<b \]

\[a\le b^2+b-1 \]

因此我们可得最后答案为：

\[\sum_{i=1}^{y}\left\lfloor\frac{min(x,i^2+i-1)}{i}\right\rfloor \]

可分为两部分枚举，$i^2+i-1\le x$ 时 $i\le\sqrt{x}$ ，在 $i^2+i-1>x$ 后用整除分块处理即可

时间复杂度：$O(\sqrt{y})$ 。

最大公约数与最小公倍数

定义

略

定理

\[\forall a,b\!\in\!\N,\quad gcd(a,b)\!*\!lcm(a,b)\!=\!a\!*\!b \]

证明： 略（懒）

更相减损术

\[\forall a,b\in\N,a\ge b ~~~~~~~ gcd(a,b)=gcd(a,a-b)=gcd(b,a-b) \]

证明：

设 $a$ 与 $b$ 的公约数为 $d$ ,设 $a=d*k_0$，$b=d*k_1$，则$a-b=d*(k_0-k_1)$，即 $d|(a-b) $。
反之同理，则 $a-b$ 与 $a$ 和 $b$ 的公约数集相等，则 $gcd$ 相等。

辗转相除法

证明：

若 $a<b$，命题显然成立。

若$a\geq b$，我们设 $a=p\times b+r$，其中$0\leq r <b$。则 $r=a$ $mod$ $b$。若$d$ 为$a,b$ 的公约数，则有 $d|a$ 且 $d|(p\times b)$，那么就有 $d|(a-p\times b)$，即 $d|r$，因此 $d$ 也是 $b,r$ 的公约数。反之亦成立。故$b$ 的公约数集合和$a$ $mod$ $b$ 的公约数集合相同，于是它们的最大公约数也相同。

证毕。

ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

该 $gcd$ 时间复杂度为 $O(\log(a+b))$ 。

互质and欧拉函数

互质定义

你不会不知道吧 ~~重开吧~~

积性函数

如果 $a,b$ 互质，有 $f(ab)=f(a)*f(b)$ ，则称函数 $f$ 为积性函数。

性质

若在算数基本定理中 $ n = \prod_{i=1}^{m} p_i^{c_i} $，则 $ f(n)= \prod_{i=1}^m f(p_{i}^{c_i }) $。

证明：

把 $n$ 分解质因数，由积性函数定义，该性质显然成立。

欧拉函数

1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 $\varphi(N)$。

欧拉函数计算式

若在算数基本定理中，$ N= p_1 ^{c_1} p_{2}^{c_{2}}... p^{c_m}_{m} $ 则：

\[\varphi(N)=N* \frac{p_1-1}{p_1} * \frac{p_2-1}{p_2} *...* \frac{p_m-1}{p_m} =N* \prod_{质数p|N} \left (1- \frac{1}{p} \right) \]

证明：

设 $p$ 是 $N$ 的质因子， $1$ ~ $N$ 中 $p$ 的倍数有 $p,2p,3p,...,(N/p)*p$ ，共 $N/p$ 个。同理，若 $q$ 也是 $N$ 的质因子，则 $1$ ~ $N$ 中 $q$ 的倍数有 $N/q$ 个，对 $N$ 的全部质因子使用容斥原理，即可得到与 $N$ 互质数的个数。

由上述计算式即可在 $O(\log{N})$ 的时间内求出欧拉函数。

性质

$\forall n>1,1$~$n$ 中与n互质的数的和为 $n*\varphi(n)/2$。

证明：

因 $gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$ ，所以与 $n$ 不互质的数 $x,n-x$ 成对出现，平均值为 $n/2 $，因此，与 $n$ 互质的数的平均值也为 $n/2$ 。
若 $a,b$ 互质，则 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ 。

证明：

对 $a,b$ 分别分解质因数，由欧拉计算式即可得到此性质。
设 $p$ 为质数，若 $p|n$ 且 $p^2|n$ ，则 $\varphi(n)\!=\!\varphi(n/p)*p$ 。

证明：

因为 $p|n$ 且 $p^2|n$ ，所以 $n$ 与 $n/p$ 包含相同质因子，不过是 $p$ 的指数不同，则由欧拉函数计算式可得其性质
设 $p$ 为质数，若 $p\mid n$ 且 $p^2\nmid n$ ，则 $\varphi(n)\!=\!\varphi(n/p)*(p-1)$ 。

证明：

$p\mid n$ 且 $p^2\nmid n$ ，则 $p$ 与 $n/p$ 互质，且 $p$ 为质数，所以 $\varphi(n)=\varphi(n/p)\varphi(p)=\varphi(n/p)(p-1) $ 。
设 $p$ 为质数，则 $\varphi(p^k)!=!pk!-!p^{k-1} $

证明:

在 $n$ 以内，与质数 $p$ 不互质的个数为 $\lfloor\frac{n}{p}\rfloor=\lfloor\frac{~p^k}{p}\rfloor=p^{k-1}$，则在 $n$ 以内与 $p$ 互质的个数就是 $n-p^{k-1}=p^k-p^{k-1}$，即$\varphi(n)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$。
$\sum_{d\mid n}!\varphi(d)!=!n $

证明：

设 $n$ , $m$ 互质，则可得：

\[\sum_{d\mid nm}\!\varphi(d)=\sum_{d\mid nm}\varphi(x)*\varphi(y)(x|n,y|m)=\left(\sum_{d\mid n}\varphi(d)\right)*\left(\sum_{d\mid m}\varphi(d)\right) \]
即 $\sum_{d\mid n}\!\varphi(d)$ 为积性函数。对于单个质因子 $p$ ：

\[\sum_{d\mid p^m}\!\varphi(d)\!=\!\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+...+\varphi(p^m)=1+(p-1)+(p^2-p)+...+(p^m-p^{m-1})=p^m \]
所以

\[\prod_{i=1}^{m}\sum_{d|p_i^{c_i}}\!\varphi(d)=\prod_{i=1}^m p_i^{c_i}=n \]
证毕

求 $1$~$N$ 的欧拉函数

借助性质$3$、$4$，在线性质数筛上稍做改进，即可在 $O(N)$ 时间内得到结果

code：

prime[1]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
  if(!prime[i])pr[++cnt]=i,f[i]=i-1;
  for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++){
    prime[i*pr[j]]=1;
    if(!(i%pr[j])){
      f[i*pr[j]]=f[i]*pr[j];break;//性质3
    }
    else f[i*pr[j]]=f[i]*(pr[j]-1);//性质4
  }
}

P2398 GCD SUM

题目描述

求

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j) \]

$n\leq 10^5$。

poof：

从$1$~$n$枚举 $gcd$ 的值，设为$x$。

求有几对 $i$，$\!j$ 使得$\gcd(i,j)=x$。

当一对 $a$，$b$ 互质时，$ \gcd( x* a , x*b ) = x $ ，所以求 $i$，$j$ 个数变为求：

\[\sum_{x=1}^{n}\sum_{a=1}^{\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor}\sum_{b=1}^{\left\lfloor\frac{n}{j}\right\rfloor}[a\perp b] \]

可用欧拉筛实现。

感谢观看

posted @ 2025-02-07 10:32 kilees 阅读(29) 评论(0) 收藏举报

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0x31质数

定义:

判定:

试除法

筛法（求1到n内的素数）：

Eratosthenes筛法

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线筛

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算术基本定理

调和级数

素数分布

题目描述

poof：

题目描述

poof：

0x32 约数

定义：

算数基本定理推论：

试除法

倍数法

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poof:

整除分块

题目描述

题目描述

最大公约数与最小公倍数

定义

定理

更相减损术

辗转相除法

互质and欧拉函数

互质定义

积性函数

欧拉函数

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