学习OpenGL-ES: 4 - 坐标系变换（平移）
1，前言：
接下来将是数学系列，将主要讲解一些初学者比较难以理解的内容，并假设读者已经熟悉了基本的向量和矩阵运算以及其几何意义。为了简单化，某些数学概念不甚严谨，但不妨碍学习和理解。
在上一篇文章《学习OpenGL-ES: 3 - 3D绘图原理》中，我们知道绘制3D图形，首先需要描述物体：
a, 我们需要描述物体位置，也经常需要平移物体，平移是指物体的形状和朝向都不变，只是位置改变。我们通过对物体的所有顶点进行相同的平移来完成这个过程，我们称之为对物体（顶点）进行平移变换，这个变换在计算机图形学中是通过用顶点坐标乘以一个4X4矩阵来完成的，顶点乘以矩阵，得到一个新的顶点，这个新的顶点就是原顶点平移后的结果，我们称这个矩阵为平移变换矩阵。
b, 与此类似，我们通过用顶点坐标旋转变换矩阵来旋转物体，进行旋转变换。
c，通过缩放变换矩阵来对物体进行缩放变换。
平移、旋转、缩放是最常见的变换，我们将在随后的几篇文章中分别讲解，先来看平移变换：
2，坐标系（标架）：
坐标系由原点和三个正交向量定义，三个正交向量称为一般称为坐标轴，相交于原点。由于位置总是相对的，所以坐标系A总是在某个坐标系B中进行描述：我们把最顶层的坐标系称为世界坐标系，我们总是从这个坐标系出发去描述其它的坐标系。定义世界坐标系原点 [0,0,0], x轴[1,0,0]，y轴[0,1,0]，z轴[0,0,1]
3， 点和向量：
向量有大小和方向，但没有位置，指定坐标系，向量总是可以由三个坐标轴的线性表示来构造，比如向量V [x, y, z] = x*[1,0,0] + y*[0,1,0] + z[0,0,1]; 对于向量来说，只需要三个坐标轴（基）就可以定义（向量空间），和原点无关。
点描述了3维空间中的位置，为了在向量空间中描述点（位置），引入了原点的概念，所有点都相对于原点进行描述（仿射空间）。
点和向量相加得到另一个点(想象一下点P沿着向量的方向移动向量的长度，其目的地就是新的点），两点相减得到一个向量。在给定坐标系中的任意点P，都可以通过原点P0和从P0指向P的向量V定义：P = P0 + V；同样 V = P - P0; 而每个向量又能由三个坐标轴的线性表示构造，所以每个点总能由原点 + 三个坐标轴的线性表示构造：
P = P0 + V = P0 + (ax + by + cz) = P0 + (a*[1,0,0] + b*[0,1,0] + c*[0,0,1]); 其中a\b\c为标量，x\y\z分别代表三个坐标轴向量，V代表从原点出发，指向P的向量。
另外，由于原点的坐标总是[0,0,0]，所以P = P0 + V = [0,0,0] + V[x,y,z] = [x,y,z]，注意：点和向量并不等同，此处只是在数值上相等，务必要分清。
4，多坐标系：
虽然点和向量的抽象定义和坐标系无关，无论有没有坐标系，点和向量总是存在于空间中，但当我们描述（表示）以及计算它们的时候，必须先给定一个坐标系。同一个点在不同的坐标系中有不同的表示，同一个向量在不同的坐标系中也有不同的表示。而坐标系由一个点（原点P0)和三个向量(Vx，Vy，Vz)定义，将其视为四元组[P, V, V, V], 所以同一个坐标系，在不同的坐标系中也有不同的表示。
5，平移变换的两种思考方式：
描述平移，需要描述平移的方向和距离，而向量具有方向和大小，所以我们可以用向量来描述一个平移，沿着向量V的方向移动向量长度的距离，我们称之为沿着V平移。
a, 移动点：
这是最自然的想法，有一个点P，移动V，则移动后的新点为P + V(回想一下，点 + 向量 = 点）。
b，移动坐标系：
移动坐标系和移动点是可互换的对偶过程。把一个点P移动一段距离，等同于保持点不动，把坐标系反方向移动相同的距离，然后在这个新坐标系中描述P，也就是计算P在新坐标系中的坐标。
c，其它变换：
事实上，所有变换都可以表述为变换点和变换坐标系这两种等价的方式。在某些时刻，用一种表述（思考）方式会比另一种更合适，无论用那种方式，我们总可以通过一个逆变换转变到另外一种方式，后面将看到这点。
6，由平移产生一个新坐标系
世界坐标系，原点 [0,0,0], x轴[1,0,0]，y轴[0,1,0]，z轴[0,0,1]，我们把世界坐标系沿x的正方向移动1单位，也就是沿着向量[1,0,0]平移，可以得到一个新的坐标系，那么这个新坐标系在世界坐标系中的表示是什么呢？回想一下，一个坐标系由原点和三个坐标轴决定，因此移动坐标系，也就是移动原点和坐标轴，让我们依次进行计算：
先计算原点: 原点沿向量[1,0,0]平移，所以新的原点为：[0,0,0] + [1,0,0] = [1,0,0];
再计算坐标轴：先考虑x轴，x轴为向量，向量没有位置，只有方向和大小，而在平移中，x轴的方向和大小都没有发生变化，所以x不变，同理y和z也不变。
所以，新坐标系在世界坐标系中的表示：原点 [1,0,0], x轴[1,0,0]，y轴[0,1,0]，z轴[0,0,1]
可以得出这样一个结论：所有对坐标系的平移只影响原点，不影响坐标轴。
7，计算同一个点在平移后的新坐标系中的坐标
点P，在世界坐标系中坐标为[1,2,3]，在第5小节生成的新坐标系中，这个点的坐标是多少？
移动坐标系，等于逆向移动点，因此坐标系平移V[1,0,0]，等同于点平移-V = [-1,0,0]，所以，平移后的点为：P + (-V) = [1,2,3] + [1,0,0] = [0,2,3].
那么，假设在新坐标系中的一个点[1,2,3]，在世界坐标系中的坐标P2是多少呢？首先将新坐标系移回原位置（和世界坐标系重合），需要沿-V移动，所以对坐标系来说，平移-V，对点来说则平移-(-V) = V，则 P2 = [1,2,3] + V = [1,2,3] + [1,0,0] = [2,2,3].
8，用矩阵进行平移变换
如同之前所述，我们可以用向量来描述平移变换，对一个物体进行平移V，等价于对这个物体所有的点P进行这样的运算: P + V
但是，我们往往需要对物体进行各种变换组合，比如：先平移V，再绕X轴旋转100度，再均匀缩放10倍，再平移V。。。所以如果有一种统一的描述和计算方式来表示所有的变换，对于理解、计算、硬件设计都有很大的好处，计算机图形学中使用4X4矩阵来表示所有的变换，因此矩阵是一种用来进行各种变换的数学工具。那么矩阵是怎样进行变换的呢？
所谓变换，本质上可看做一个函数（映射），假设这个函数为T()，则对于一个顶点P，T(P)将输出一个新的顶点P1，这个顶点就是经过T变换的结果，而T的实现，实际上是拿顶点乘以一个矩阵M，也就是P1 = P X M. 对每一种变换都有一个对应的函数T，也都有一个对应的矩阵M，所以一系列的变换可以描述为:P1 = P X M平移 X M旋转 X M缩放 X M平移 = P平移 X M旋转 X M缩放 X M平移 = P平移+旋转 X M缩放 X M平移 = 。。。
而矩阵乘法满足结合率，所以P X M平移 X M旋转 X M缩放 X M平移 = P X (M平移 X M旋转 X M缩放 X M平移) = P X M连乘矩阵
那么，用矩阵进行平移变换，关键就是构造一个矩阵M，令P X M = P + V。注：在OpenGL ES中，使用4X4齐次坐标矩阵，右手坐标系，列主序，向量右乘。关于左/右手坐标系，行/列主序，向量左/右乘，向量和矩阵元素在内存（数组）中的顺序等，都是初学者容易迷惑的地方，后续将有一篇文章专门对此进行讲解。本文为了书写方便，使用行主序和向量左乘.
假设将点[1,2,3]沿向量[4,5,6]进行平移，我们可以得出平移结果为[1,2,3] + [4,5,6] = [5,7,9]，以下为对应的平移变换矩阵：
1,0,0,0
[1,2,3,1] X 0,1,0,0 = [5,7,9,1]
0,0,1,0
4,5,6,1
[1,2,3,1]称之为点[1,2,3]的齐次坐标表示，其中第四个分量一般称为w分量，对3D来说，齐次坐标只是一种数学技巧，用来将各种变换统一为一种矩阵表示（3X3矩阵无法表示仿射变换，平移变换属于仿射变换），齐次坐标可参考之前文章中推荐的书籍（学习OpenGL-ES: 0 - 方法和资料），此处不再赘述。
观察上述矩阵，发现第四行为[4,5,6,1]，恰为平移向量V的齐次坐标表示，因此沿向量V[X,Y,Z]平移的平移变换矩阵可构造如下;
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
X,Y,Z,1
9，总结：
对3D世界中的物体进行平移，就是对其所有顶点P进行相同的平移，这个平移可以通过一个平移向量V[X,Y,Z]描述，也可以通过一个平移变换矩阵M描述，平移变换的结果P1 = P +V = P X M。M是如下形式的4X4矩阵：
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
X,Y,Z,1
