大数与小数的求和算法

原文首发于我的微信公众号：GeekArtT .

在计算机求和的过程中，一个大数和小数的相加会因为浮点数的有限精度，而导致截断误差的出现。所以在构建计算网格的时候，都要极力避免这样情形的发生，将计算统一在相对较近的数量级上。所以，当需要对一系列的数值做加法时，一个好的技巧是将这些数由大到小做排列，再逐个相加。

而如果一定要做出这样的大数与小数的求和，一个直观想法就是：大数部分和小数部分的高位相加，将剩余的小数部分作为单独的“补全”部分相加。这种直观想法的官方名称叫做Kahan求和法。

假设当前的浮点数变量可以保存6位的数值。那么，数值12345与1.234相加的理论值应该是12346.234。但由于当前只能保存6位数值，这个正确的理论值会被截断为12346.2，这就出现了0.034的误差。当有很多这样的大数与小数相加时，截断误差就会逐步累积，导致最后的计算结果出现大的偏差。

Kahan算法：

def KahanSum(input):
    var sum = 0.0
    var c = 0.0
    for i = 1 to input.length do
        var y = input[i] - c    // Initially, c is zero; then it compensates previous accuracy. 
        var t = sum + y         // low-order digits of y are lost
        c = (t - sum) - y       // recover the low-order digits of y, with negative symbol
        sum = t
    next i
 
    return sum

在上述伪代码中，变量c表示的即是小数的补全部分compensation，更严格地说，应该是负的补全部分。随着这个补全部分的不断积累，当这些截断误差积累到一定量级，它们在求和的时候也就不会被截断了，从而能够相对好地控制整个求和过程的精度。

以下，先用一个具体的理论例子来说明。比如，用10000.0 + pi + e来说明，我们依旧假设浮点型变量只能保存6位数值。此时，具体写出求和算式应该是：10000.0 + 3.14159 + 2.71828，它们的理论结果应该是10005.85987，约等于10005.9。

但由于截断误差，第一次求和10000.0 + 3.14159只能得到结果10003.1；这个结果再与2.71828相加，得到10005.81828，被截断为10005.8。此时结果就相差了0.1。

运用Kahan求和法，我们的运行过程是（记住，我们的浮点型变量保存6位数值），

第一次求和：

y = 3.14159 - 0.00000
 
t = 10000.0 + 3.14159
  = 10003.14159
  = 10003.1                      // low-order digits have lost
 
c = (10003.1 - 10000.0) - 3.14159
  = 3.10000 - 3.14159
  = - (.0415900)                 // recover the negative parts of compensation errors
 
sum = 1003.1

第二次求和：

y = 2.71828 - (-.0415900)
  = 2.75985    // Add previous compensated parts to current small number
 
t = 10003.1 + 2.75987
  = 10005.85987
  = 10005.9    // As the low-order digits have been accumulated large enought, it won't be canceled by big number
 
c = (10005.9 - 10003.1) - 2.75987
  = 2.80000 - 2.75987
  = .040130
 
sum = 10005.9

以上是理论分析。再举一个可以运行的Python代码示例，方便感兴趣的朋友做研究。这个例子曾经出现于Google的首席科学家Vincent Vanhoucke在Udacity上开设的deep learning课程。这个求和算式是：在10^9的基础上，加上10^(-6)，重复10^6次，再减去10^9，即10^9 + 10^6*10^(-6) - 10^9，理论值应该为1。

Python Code:

summ = 1000000000
 
for indx in xrange(1000000):
    summ += 0.000001
 
summ -= 1000000000
 
print summ

运行后，可以得到结果是0.953674316406。可以看到，在10^6次求和后，截断误差的累积量已经非常可观了。

如果我们用Kahan求和法来做改进，可以得到：

Python Code with Kahan method:

summ = 1000000000
c = 0.0
 
for indx in xrange(1000000):
    y = 0.000001 - c
    t = summ + y
    c = (t - summ) - y
    summ = t
 
summ -= 1000000000
 
print summ