浅谈四边形不等式

四边形不等式

对于\(f_i=min(f_j+w(j,i))\)

若满足\(w(a,d)+w(b+c)\ge w(a,c)+w(b,d),a\leq b \leq c \leq d\)则\(f\)满足决策单调性

\(f_i\leq f_j+w(i,j)\)

设\(p_i\)为\(i\)的最优决策点

则\(f_{i}= f_{p_i}+w(p_i,i)\le f_{p_{i+1}}+w(p_{i+1},i)\)

\(f_{i+1}=f_{p_{i+1}}+w(p_{i+1},i+1)\le f_{p_i}+w(p_i,i+1)\)

两式相加即\(w(p_i,i)+w(p_{i+1},i+1)\le w(p_i,i+1)+w(p_{i+1},i)\)

令\(a=p_i,b=p_{i+1},c=i,d=i+1\),即可得\(p_i\leq p_{i+1}\),由此\(p\)单调不降

再形式化一点，实际上只需满足\(w(i,j+1)+w(i+1,j)\ge w(i,j)+w(i+1,j+1)\)即可

综合来看，这其实就是相交小于包含

当然，如果是\(max\),或则是不等号取反，就是单减的决策点

分治

如果有决策单调性，且没有后效性

设计函数\(sovle(L,R,l,r)\)表示\([L,R]\)一段的决策点为\((l,r)\)

如果\(mid\)的最优决策点为\(P\),则递归处理\(solve(L,mid-1,l,P),solve(mid+1,R,P,r)\)

时间复杂度同整体二分

二分

由于决策点序列是单增，对于决策点\(i>j\),可以用二分找到第一个使得\(i\)更优的点

具体的用队列维护一个三元组\((l,r,p)\)表示\(p\)能影响\(l,r\)

队头就是当前能覆盖\(i\)的第一个，队列里的元素的\(l\)都是前一个\(l+1\)，队尾的\(r\)为\(n\)

寻找\(i\)的最优决策点时，因为\(i\)单调，所以可以弹出无用对头

考虑\(i\)作为决策点，因为\(i\)在最后，所以把\(i\)决策点加入队尾，如果在队尾的\(l\)时队尾劣于\(i\),则直接弹出队尾

否则用二分找\(i\)第一个影响的位置并塞入队尾

对于决策递减的

分治法就是左右交换

二分法首先要处理\(1\)的最优决策点，然后考虑用栈维护就可以了

常见满足四边形不等式

\(1.\)可以用单调队列，斜率优化的

\(2.\)\(\sqrt{i-j}\)

\(3.\)区间不同个数，区间数的对数

\(4.\)\(|a_i-a_j|^p\)