浅谈四边形不等式

四边形不等式

对于$f_i=min(f_j+w(j,i))$

若满足$w(a,d)+w(b+c)\ge w(a,c)+w(b,d),a\leq b \leq c \leq d$则$f$满足决策单调性

$f_i\leq f_j+w(i,j)$

设$p_i$为$i$的最优决策点

则$f_{i}= f_{p_i}+w(p_i,i)\le f_{p_{i+1}}+w(p_{i+1},i)$

$f_{i+1}=f_{p_{i+1}}+w(p_{i+1},i+1)\le f_{p_i}+w(p_i,i+1)$

两式相加即$w(p_i,i)+w(p_{i+1},i+1)\le w(p_i,i+1)+w(p_{i+1},i)$

令$a=p_i,b=p_{i+1},c=i,d=i+1$,即可得$p_i\leq p_{i+1}$,由此$p$单调不降

再形式化一点，实际上只需满足$w(i,j+1)+w(i+1,j)\ge w(i,j)+w(i+1,j+1)$即可

综合来看，这其实就是相交小于包含

当然，如果是$max$,或则是不等号取反，就是单减的决策点

分治

如果有决策单调性，且没有后效性

设计函数$sovle(L,R,l,r)$表示$[L,R]$一段的决策点为$(l,r)$

如果$mid$的最优决策点为$P$,则递归处理$solve(L,mid-1,l,P),solve(mid+1,R,P,r)$

时间复杂度同整体二分

二分

由于决策点序列是单增，对于决策点$i>j$,可以用二分找到第一个使得$i$更优的点

具体的用队列维护一个三元组$(l,r,p)$表示$p$能影响$l,r$

队头就是当前能覆盖$i$的第一个，队列里的元素的$l$都是前一个$l+1$，队尾的$r$为$n$

寻找$i$的最优决策点时，因为$i$单调，所以可以弹出无用对头

考虑$i$作为决策点，因为$i$在最后，所以把$i$决策点加入队尾，如果在队尾的$l$时队尾劣于$i$,则直接弹出队尾

否则用二分找$i$第一个影响的位置并塞入队尾

对于决策递减的

分治法就是左右交换

二分法首先要处理$1$的最优决策点，然后考虑用栈维护就可以了

常见满足四边形不等式

$1.$可以用单调队列，斜率优化的

$2.$$\sqrt{i-j}$

$3.$区间不同个数，区间数的对数

$4.$$|a_i-a_j|^p$

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本文作者：Yukino
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