浅谈数论
筛法与积性函数
欧拉筛
\(考虑每个数的最小质因数即可\)
$对于i\bmod prime[j] == 0 就break的解释 $
\(当 i是prime[j]的倍数时，i = k\times prime[j]\)
\(如果继续运算j+1,i\times prime[j+1] = prime[j] \times k\times prime[j+1]\)
\(这里prime[j]是最小的素因子,当i = k * prime[j+1]时会重复,所以才跳出循环\)
积性函数
\(\phi(n)：欧拉函数，1-n中和n互质的数的个数\)
\(\mu(n)：如果n的因式分解中有质因数的幂次大于1那么μ(n)=0，否则设n有k个质因数，μ(n)=(-1)^k\)
\(d(n)：因数函数，n的正因数个数\)
\(σ(n)：因数和函数，n的所有正因数之和\)
\(\phi相关\)
\(普通求法 \Theta(sqrt(n))\)
\(考虑一个数n=\prod\limits_{i=1}^{cntp}p_i^{a_i},容斥即可\)
\(\phi(n)=n\times\prod\limits_{i=1}^{cntp}(1-\dfrac{1}{p_i})\)
\(或对单个整数N求欧拉函数φ(N)我们先将N进行因式分解对每个质因数的幂单独求φ再把他们乘起来\)
\(时间复杂度o(sqrt(N))\)
long long Phi(long long x)
{
long long res=x;
long long now=x;
for(long long i=2;i<=now/i;i++)
{
if(now%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(now%i==0)
{
now/=i;
}
}
}
if(now>1)
{
res=res/now*(now-1);
}
return res;
}
筛法
\(积性函数，只要i\bmod prime[j] \not=0直接\phi(i*prime[j])=\phi(i)\times(prime[j]-1)\)
\(而i\bmod prime[j]=0，与i互质的与i*prime[j]同样互质，\phi(i*prime[j])=\phi(i)\times(prime[j])\)
拓展
\(\mathcal{No.1}\)
\(对于质数p,\phi(p^x)=p^x-p^{x-1}=(p-1)p^{x-1}\)
\(其实就是减去p的倍数\)
\(\mathcal{No.2}\)
\(对于1\le x\le m，使得其于n互质的个数\)
\(考虑容斥即可\)
\(\mathcal{No.3}\)
\(对于任意N>2，φ(N)是偶数\)
\(1-N中与N互质的数，可以两两配成和为N的数对。所以1-N中与N互质的数的和就是\dfrac{φ(N)*N}{2}\)
\(\mathcal{No.4}\)
\(\sum\limits_{d|n}\phi(d)=n\)
\(令f(n)=\sum\limits_{d|n}\phi(d)，可证积性\)
\(对于质数p,f(p^k)=\sum\limits_{i=1}^{k}\phi(i)=\sum\limits_{i=1}^{k}(p^k-p^{k-1})=p^k\)
\(所以f(n)=\prod f(p^k)=\prod p^k=n\)
\(\mathcal{No.5}\)
\(\sum\limits_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|gcd(n,i)}\phi(d)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}\sum\limits_{d|n}\phi(d)\)
\(\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}\phi(d)=\sum\limits_{d|n}\dfrac{n}{d}\phi(d)\)
\(\mu相关\)
\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
d相关
\(d(n)=\prod(1+a_i)\)
\(考虑每个因子互不影响\)
\(对于线性筛\)
\(维护每一个数的最小值因子出现的次数（即a1）即可\)
σ(n)相关
\(σ(i)=\prod\limits_{i=1}^k(\sum\limits_{j=1}^{a_i}p_i^{j})\)
欧拉定理
欧拉定理
\(对于互质的a,m,有a^{\phi(m)}\equiv1(\bmod m)\)
原根
阶
\(对于互质的两个正整数a和m，使得a^n ≡ 1 (\bmod m)成立的最小正整数n称为模m意义下a的阶\)
\(记作ord(a)。可以证明模m意义下的阶一定是φ(m)的因数\)
原根
\(对于互质的a,m，使得ord(a)=\phi(m),此时a是m的原根\)
\(a^0,a^1,...,a^{φ(m)-1}互不相同\)
\(如果a是m的一个原根，当且仅当GCD(b,φ(m))=1，a^b也是m的一个原根\)
\(当且仅当m=1、2、p^a或2*p^a时，m有原根\)
\(原根个数\phi(\phi(m))\)
威尔逊定理
\(当且仅当p是素数时，(p-1)! ≡ p-1 (mod\ p)\)
拓展欧拉定理
\(a^c\equiv a^{c\ mod\ \phi(m)+\phi(m)},c>=\phi(m)\)
\(a^c\equiv a^{c},c<\phi(m)\)
