uva 11383 Golden Tiger Claw

题意：

给出一个n * n的矩阵，要求给每一行和每一列安排一个数字，使得对于每个数字a[i][j]，这一行安排的数字row[i]和这一列安排的数字col[j]满足row[i] + col[j] >= a[i][j]。要求使得每一行安排的数字和每一列安排的数字之和最小。输出每一行和每一列安排的数字，再输出最小值。

思路：

对于row[i] + col[j] >= a[i][j]这个条件，可以联想到KM算法中的一个式子lx[i] + ly[j] >= w[i][j]，于是就可以把每一行安排的值视为左顶标，每一列安排的值视为右顶标，然后进行一次KM算法求最大匹配，那么得到的左右顶标之和就是最小的，即每一行安排的数字和每一列安排的数字之和最小。

有两个地方比较难想：

第一是求的是最小值，但是求的却是最大匹配，不是最小匹配，因为我们求的最后结果是满足lx[i] + ly[j] >= w[i][j]的，但是最小匹配满足的条件是lx[i] + ly[j] >= -w[i][j]，这不满足条件。

第二是如何证明求出来的是最小值，因为求出的匹配是一个导出子图，而导出子图的每一条边都满足lx[i] + ly[j] == w[i][j]，如果把这个结果减小，那么必然存在某些边有lx[i] + ly[j] < w[i][j]，这样就不满足题中所给条件。

复杂度O(n^3)。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 505;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int lx[N],ly[N];
bool vis_x[N],vis_y[N];
int slack[N];
int match[N];
int w[N][N];

bool dfs(int u,int n)
{
    vis_x[u] = 1;
    
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        if (vis_y[i]) continue;
        
        int gap = lx[u] + ly[i] - w[u][i];
        
        if (gap == 0)
        {
            vis_y[i] = 1;
            
            if (match[i] == -1 || dfs(match[i],n))
            {
                match[i] = u;
                return true;
            }
        }
        else
        {
            slack[i] = min(slack[i],gap);
        }
    }
    
    return false;
}

int km(int n)
{
    memset(match,-1,sizeof(match));
    memset(ly,0,sizeof(ly));
    //for (int i = 0;i < n;i++) lx[i] = -inf;
    
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        lx[i] = w[i][0];
        
        for (int j = 1;j < n;j++)
        {
            lx[i] = max(lx[i],w[i][j]);
        }
    }
    
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        memset(slack,inf,sizeof(slack));
        
        while (1)
        {
            memset(vis_x,0,sizeof(vis_x));
            memset(vis_y,0,sizeof(vis_y));
            
            if (dfs(i,n)) break;
            
            int d = inf;
            
            for (int j = 0;j < n;j++)
            {
                d = min(d,slack[j]);
            }
            
            for (int j = 0;j < n;j++)
            {
                if (vis_x[j]) lx[j] -= d;
                
                if (vis_y[j]) ly[j] += d;
                //else slack[j] -= d;
            }
        }
    }
    
    int ans = 0;
    
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        ans += w[match[i]][i];
    }
    
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    
    while (scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        for (int i = 0;i < n;i++)
        {
            for (int j = 0;j < n;j++)
            {
                int t;
                
                scanf("%d",&t);
                
                w[i][j] = t;
            }
        }
        
        
        
        int res = km(n);
        int ans = 0;
        
        for (int i = 0;i < n;i++)
        {
            ans += (lx[i]);
            printf("%d%c",lx[i],i == n - 1 ? '\n' : ' ');
        }
        
        for (int i = 0;i < n;i++)
        {
            ans += (ly[i]);
            printf("%d%c",ly[i],i == n - 1 ? '\n' : ' ');
        }
        
        printf("%d\n",res);
    }
    
    return 0;
}