uvalive 5834 Genghis Khan The Conqueror

题意：

给出一个图，边是有向的，现在给出一些边的变化的信息（权值大于原本的），问经过这些变换后，MST总权值的期望，假设每次变换的概率是相等的。

思路：

每次变换的概率相等，那么就是求算术平均。

首先求出最小生成树，若变换的边不在最小生成树上，那么就不用管；如果在，那么就需要求变换之后的MST的总权值，有两种情况，第一是继续使用变换后的边，还是MST，第二是放弃这条边，使用其它边构成MST。取两者中的最小值。

第二种情况需要较为深入的讨论，如何使得在较优的时间内找到一条边，使得这条边加入后还是MST。

放弃了一条边之后，MST就变成了两棵最小生成子树，那么要找的边实际就是两棵树之间的最短距离，就转化成了求两棵树之间的最短距离。

如何求两棵树的最短距离，树形dp，这个我也是看题解学习的Orz。具体的做法是每次用一个点作为根，在dfs的过程中，将每一条非树边对最短距离进行更新，这个最短距离对应的是去掉dfs中每一对点所连的边的形成的两棵子树。

看图

红色的是非树边，那么这条非树边就可以更新去掉点A与点B连的树边之后形成的两棵树的最小距离，也可以更新去掉点B与点C连的树边后形成的两棵树的最小距离。每次dfs访问n个点，n次dfs，所以复杂度为O(n^2)。

总复杂度为O(n^2)。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 3005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int mp[N][N],pre[N];
bool used[N][N];
int dp[N][N];
int vis[N];
int d[N];
vector<int> g[N];

struct edge
{
    int to,cost;
    
    edge(int a,int b)
    {
        to = a;
        cost = b;
    }
};

long long prim(int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(used,0,sizeof(used));
    //memset(path,0,sizeof(path));
    
    for (int i = 0;i < n;i++) g[i].clear();
    
    vis[0] = 1;
    d[0] = 0;
    
    for (int i = 1;i < n;i++)
    {
        d[i] = mp[0][i];
        pre[i] = 0;
    }
    
    int ans = 0;
    
    for (int i = 0;i < n - 1;i++)
    {
        int x;
        int dis = inf;
        
        for (int j = 0;j < n;j++)
        {
            if (!vis[j] && d[j] < dis)
            {
                x = j;
                dis = d[j];
            }
        }
        
        vis[x] = 1;
        
        used[x][pre[x]] = used[pre[x]][x] = 1;
        
        g[x].push_back(pre[x]);
        g[pre[x]].push_back(x);
        
        ans = ans + dis;
        
        for (int j = 0;j < n;j++)
        {
            //if (vis[j] && j != x) path[x][j] = path[j][x] = max(dis,path[j][pre[x]]);
            
            if (!vis[j] && mp[x][j] < d[j])
            {
                d[j] = mp[x][j];
                pre[j] = x;
            }
        }
    }
    
    return ans;
}

int dfs(int root,int u,int fa)
{
    int s = inf;
    
    for (int i = 0;i < g[u].size();i++)
    {
        int v = g[u][i];
        
        if (v == fa) continue;
        
        int tmp = dfs(root,v,u);
        
        s = min(tmp,s);
        
        dp[u][v] = dp[v][u] = min(dp[u][v],tmp);
    }
    
    if (root != fa)
        s = min(s,mp[root][u]);
        
    return s;
}

void solve(int n)
{
    memset(dp,inf,sizeof(dp));
    
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        dfs(i,i,-1);
    }
}


int main()
{
    int n,m;
    
    while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
    {
        if (m == 0 && n == 0) break;
        
        memset(mp,inf,sizeof(mp));
        
        for (int i = 0;i < n;i++)
        {
            g[i].clear();
        }
        
        for (int i = 0;i < m;i++)
        {
            int a,b,c;
            
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            
            mp[a][b] = mp[b][a] = c;
            
            //G[a].push_back(edge(b,c));
            //G[b].push_back(edge(a,c));
        }
        
        int ans = prim(n);
        
        solve(n);
        
        //printf("ans = %d\n",ans);
        
        int q;
        
        scanf("%d",&q);
        
        long long res = 0;
        
        for (int i = 0;i < q;i++)
        {
            int x,y,c;
            
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
            
            if (!used[x][y]) res += ans;
            else
            {
                long long tmp = (long long)ans + c - mp[x][y];
                
                //printf("%d **\n",dp[x][y]);
                
                tmp = min(tmp,(long long)ans + dp[x][y] - mp[x][y]);
                
                res += tmp;
                
                //printf("%d %lld**\n",dp[x][y],tmp);
            }
        }
        
        printf("%.4f\n",(double) res / q);
    }
    
    return 0;
}