uva 10870

https://vjudge.net/problem/UVA-10870

题意：

f(n) = a1f(n − 1) + a2f(n − 2) + a3f(n − 3) + . . . + adf(n − d), for n > d

给出f(1),f(2) ... f(d) 以及a1,a2...ad，然后给出一个n和m的值，计算f(n) % m的值

思路：

矩阵快速幂模板题，只是构建矩阵比较困难，其实这题的构建矩阵是比较简单的，这题的模型也是一个相当广泛的模型。

   |a1 a2 a3 a4 a5|                | f[n]     |      | f[n+1] |  
   |1                      |                | f[n-1]  |      | f[n]    |  
   |     1                 |       *        | f[n-2]  | =   | f[n-1] | (空白处为0)
   |          1            |                | f[n-3]  |      | f[n-2] |
   |              1        |                | f[n-4]  |      | f[n-3] |

就是这样一个关系，可以用手推一下。

f(n) = A^(n-d) * f(d);

之后就直接套模板啦。

最后的f(n)其实是通过得到的结果矩阵的第一行乘以f(d)这个矩阵得到的，只不过乘的时候要关注原矩阵的顺序，别乘反了。

注意在n <= d的时候是直接取余输出的。（矩阵乘法的时候也要一边乘，一边取余）。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

long long d,n,m;

long long f[20];

struct matrix
{
    long long a[20][20];
};

matrix mul(matrix x,matrix y)
{
    matrix c;

    for (int i = 0;i < d;i++)
        for (int j = 0;j < d;j++)
    {
        c.a[i][j] = 0;

        for (int k = 0;k < d;k++)
        {
            c.a[i][j] = (c.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % m) % m;
        }
    }

    return c;
}

void solve(matrix t,long long o)
{
    matrix e;

    memset(e.a,0,sizeof(e.a));

    for (int i = 0;i < d;i++)
        e.a[i][i] = 1;

    while (o)
    {
        if (o & 1)
        {
            e = mul(e,t);
        }

        o >>= 1;

        t = mul(t,t);
    }

    long long res = 0;

    for (int i = 0;i < d;i++)
        res = (res + e.a[0][i] * f[d-i-1]) % m;

    printf("%lld\n",res);
}

int main()
{


    while (scanf("%lld%lld%lld",&d,&n,&m) != EOF)
    {
        if (d == 0 && n == 0 && m == 0) break;

        matrix p;

        memset(p.a,0,sizeof(p.a));

        for (int i = 0;i < d;i++)
            scanf("%lld",&p.a[0][i]);

        for (int i =  1;i < d;i++)
            p.a[i][i-1] = 1;

        for (int i = 0;i < d;i++)
            scanf("%lld",&f[i]);

        if (n <= d)
        {
            printf("%lld\n",f[n-1] % m);

            continue;
        }

        solve(p,n-d);
    }

    return 0;
}