两角和差正余弦公式的证明
两角和差正余弦公式的证明
北京四中数学组 皇甫力超
论文摘要：
本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。 在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。
关键词：
两角和差的正余弦公式
正文：
两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。
由角 
, 
的三角函数值表示 
的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 
或 
与 , 的三角函数联系起来。
根据诱导公式 , 由角 
的三角函数可以得到 
的三角函数。 因此 , 由和角公式容易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为 
, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。
(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易表示 , 和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 与 , 的三角函数值的等式。
1. 和角余弦公式
(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 
中作单位圆 
, 并作角 , 和 
, 使角 的始边为 
, 交 
于点 A, 终边交 于点 B；角 始边为 
, 终边交 于点 C；角 始边为 , 终边交 于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为
, 
,
,
。
由两点间距离公式得
；
。
注意到 
, 因此
。
注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。
2. 差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是
(方法2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 和 的始边均为 , 交 于点 C, 角 终边交 于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为
,
。
由两点间距离公式得
。
由余弦定理得
。
从而有。
注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 
是三角形的内角。 因此, 还需要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 大于 
的情形。容易验证 , 公式在以上情形中依然成立。
在上边的证明中 , 用余弦定理计算 
的过程也可以用勾股定理来进行。
(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。
1. 和角正弦公式 (一)
(方法3) 如图所示, 
为 
的 
边上的高 , 
为 
边上的高。设 
, 
, 
, 则。从而有
, 
,
,
。
因此 
,
。
注意到 
,
从而有
,
整理可得
。
注记：在方法 3 中 , 用 和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示 边上高 , 从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。
利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的
(方法 4) 如图所示, 为 的 边上的高 , 为 边上的高。 设 , , 则
。
注意到 
, 则有
,即。
从而有 
。
利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。
(方法 5) 如图所示 , 
为 的 边上的高。 设 , , 则有 
,。 由正弦定理可得
,
其中 d为 的外接圆直径。
由 
得
,
从而有
。
2. 和角正弦公式 ( 二 )
方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。 如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 6~11)。
(方法 6) 如图所示 , 作 
于D, 交 外接圆于 E, 连 
和。 设
, 
, 则
, 
,
。
设 的外接圆直径为 d, 则有, 
,
,
。
所以有
。
注意到 
, 从而。
(方法 7) 如图所示 , 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 
, 
, 则
。 设 
, 则
, 
, 
,
, 
。
又
从而
。
整理可得 。
(方法 8) 如图所示 , 作 
于D, 过 D作 
于 F, 
于G。 设 
,
, 则 
,设 
, 从而 
,
,
,
。
所以
。
注意到 
, 则有
。
注记：我们用两种不同的方法计算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方法来计算 
, 则可以得到和角的余弦公式。 由上图可得
,
,
从而有
。注意到
, 从而可得。
方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。
(方法 9 ) 如图所示 , 设 为 的 边上的高。 设 , ,, 
, 从而有
方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。
(方法 10) 如图所示 , 设 为 的外接圆直径d, 长度为d。 设 
, 
, 则 
, 从而
注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和 是圆内接四边形的对角线 , 则有
。
(方法 11) 如图所示 , 为 的 边上的高。 设 
, 
, 则。 设 
, 则
方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角 , 相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的等式关系。
3. 差角正弦公式
仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。
(方法 12) 如图所示 ,
。 设 
, 
, 记 
, 作 
于 E, 则 
, 
, 从而有
(方法 13) 如图所示 , 为 的外接圆直径 , 长度为 d。设 
, 
, 则 
, 
。 从而
方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。
很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。 而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角 ( 甚至都是锐角 )。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和 是任意角的情形。 具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 
成立 , 则对任意角也成立。
容易验证 , 角 和 中至少有一个是轴上角 ( 即终边在坐标轴上的角 ), 我们的公式是成立的。 下面证明 , 角 和 都是象限角 ( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 时 , 我们的公式也成立。 不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有
从而
同理可证, 公式对于象限角 和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 3~13 推导的公式推广到角 , 是任意角的情形。
两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。 其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。 从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：
(1) 明确推导证明的目标：构造联系 和 三角函数与 或 的等式或方程 ；
(2) 简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；
(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系 和 三角函数与 或 的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；
(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。
参考文献：
1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。
2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 << 数学 ( 第一册下 )>>( 必修 ), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。
