线段树
【线段树的定义】
有时候我们经常会碰到一些跟区间有关的问题，比如给一些区间线段求并区间的长度，或者并区间的个数等等。这些问题的描述都非常简单，但是通常情况下数据范围会非常大，而朴素方法的时间复杂度过高，导致不能在规定时间内得到问题的解。这时，我们需要一种高效的数据结构来处理这样的问题，我们介绍一种基于分治思想的数据结构－－线段树。
从简单说起，线段树其实可以理解成一种特殊的二叉树。但是这种二叉树较为平衡，和静态二叉树一样，都是提前已经建立好的树形结构。针对性强，所以效率要高。线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段 [a , b]。长度为1的线段成为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2]，右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 +1, b]。
下面看一个实例：
上图就是范围为[1,10]的线段树。根节点代表[1,10]区间，左孩子[1,5],右孩子[6,10]....依次类推，叶子节点代表的是长度为1的区间。
【简单线段树的建立，查询，更新】
一 建立寻找区间最大值的线段树
1.线段树的建立：
1 void bulid_tree(int rt,int L,int R)//构造线段树的过程相当于后序遍历 2 { 3 if(L==R) cin>>Max[rt];//说明到了叶节点，输入叶节点的值，Max数组存储的是各区间段的最大值 4 else 5 { 6 int mid=(L+R)/2; 7 build_tree(2*rt,L,mid);//递归构造左子树 8 build_tree(2*rt+1,mid+1,R);//递归构造右子树 9 Max[rt]=max(Max[2*rt],Max[2*rt+1]);//寻找根节点的值，左右儿子的较大值 10 } 11 }
2.线段树的更新：类似二分
1 void update(int r,int L,int R) 2 { 3 int mid=(L+R)/2; 4 if(L==R) Max[r]=v;//如果该点就是叶节点的话就把值更新，此时通过二分就找到了p,且p=L=R 5 else 6 { 7 if(p<=mid) update(2*r,L,mid);//如果查询点P在区间以左，则递归查询左区间 8 else update(2*r+1,mid+1,R);//如果查询点p在区间以右，则递归查询右区间 9 Max[r]=max(Max[2*r],Max[2*r+1]);//更新并求得父节点最大值 10 } 11 }
3.线段树的查询：（以下函数只支持单点查询）
1 int query(int r,int ql,int qr)//查询操作 2 { 3 int mid=(L+R)/2; 4 if(ql<=L&&qr>=R) return Max[r];//[ql,qr]包含区间[L,R] 5 else if(qr<=mid) return query(2*r,L,mid);//[ql,qr]在区间[L,R]以左 6 else if(ql>mid) return query(2*r+1,mid+1,R);//[ql,qr]在区间[L,R]以右 7 else 8 return max(query(2*r,L,mid),query(2*r+1,mid+1,R));//ql在区间[L,R]中点以左，qr在区间中点以右 9 }
【复杂线段树的建立】
维护一个只有0和1的整数数列，支持四种操作：
①将[x,y]区间内的整数都变为0；
②将[x,y]区间内的整数都变为1；
③将[x,y]区间内所有0都变成1，所有1都变成0。
④查询区间[x,y]内1的个数。
一共有N个整数共执行M次操作。(N, M均为10^5级别)
1.线段树的建立：
// 更新父节点信息的update函数
void update(int cur)
{
int ls = cur << 1, rs = cur << 1 | 1;
ones[cur] = ones[ls] + ones[rs];
}
// 建立线段树
void build(int cur, int x, int y)
{
int mid = (x + y) >> 1, ls = cur << 1, rs = cur << 1 | 1;
to[cur] = -1, rev[cur] = 0;//to数组是用来判断是否被懒惰标记，rev数组是用来判断是否被反转
if(x == y)
{
ones[cur] = a[x]; // a[]中存放的是序列
return ;
}
build(ls, x, mid);
build(rs, mid + 1, y);
update(cur);
}
// 调用build建立线段树
build(1, 1, N);
2.线段树的修改：
// 下传lazy标记的pushdown函数 void pushdown(int cur, int x, int y) { int mid = (x + y) >> 1, ls = cur << 1, rs = cur << 1 | 1; if(to[cur] != -1)//已经被标记 { to[ls] = to[rs] = to[cur];//传递到子节点 rev[ls] = rev[rs] = 0;//标记为未被反转 ones[ls] = to[cur] * (mid - x + 1);//计算左儿子的值 ones[rs] = to[cur] * (y - mid);//计算右儿子的值 to[cur] = -1;//父节点消除懒惰标记 } if(rev[cur])//如果父节点已经被反转 { rev[ls] ^= 1, rev[rs] ^= 1;//儿子节点也跟随反转 ones[ls] = mid - x + 1 - ones[ls];//因为节点值都为1或者0，那么便可以用mid-x+1表示全为1的情况，那么减去ones[ls]便可以得到反转以后的数据 ones[rs] = y - mid - ones[rs];//理由同上 rev[cur] = 0;//已经传递到儿子，把父节点置为未反转 } } // 将[s,t]区间内所有整数赋值成0或者1 void change(int cur, int x, int y, int s, int t, int v) { int mid = (x + y) >> 1, ls = cur << 1, rs = cur << 1 | 1; if(x >= s && y <= t) { ones[cur] = v * (y - x + 1); to[cur] = v, rev[cur] = 0; return ; } pushdown(cur, x, y); if(mid >= s)//这里注意理解，如果所求区间在原有区间的中点左右分布，那么两个if可以同时执行 change(ls, x, mid, s, t, v); if(mid + 1 <= t) change(rs, mid + 1, y, s, t, v); update(cur); }
3.线段树的反转：
// 将[s,t]区间内所有0变为1，所有1变为0 void reverse(int cur, int x, int y, int s, int t) { int mid = (x + y) >> 1, ls = cur << 1, rs = cur << 1 | 1; if(x >= s && y <= t) { ones[cur] = y - x + 1 - ones[cur]; rev[cur] ^= 1; return ; } pushdown(cur, x, y); if(mid >= s) reverse(ls, x, mid, s, t); if(mid + 1 <= t) reverse(rs, mid + 1, y, s, t); update(cur); }
4.线段树的查询：
// 查询区间[s,t]内1的个数 void query(int cur, int x, int y, int s, int t, int &ans) { int mid = (x + y) >> 1, ls = cur << 1, rs = cur << 1 | 1; if(x >= s && y <= t) { ans += ones[cur]; return ; } pushdown(cur, x, y); if(mid >= s) query(ls, x, mid, s, t, ans); if(mid + 1 <= t) query(rs, mid + 1, y, s, t, ans); }
