模运算

【模运算的定义及概念】

模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。

【基本理论】 

　　给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r ； 
　　其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。 
　　对于正整数p和整数a,b，定义如下运算： 
　　取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。 
　　模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。 
　　模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。 
　　模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。 
　　说明： 
　　1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。 
　　2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

【基本性质】

    （1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7) 
　　（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p) 
　　（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p) 
　　（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p) 

【运算规则】

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下： 
　　（1）(a + b) % p = (a % p + b % p) % p  
　　（2）(a - b) % p = (a % p - b % p) % p  
　　（3）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p  
　　（4）(a^b) % p = ((a % p)^b) % p  
　　（5）结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p  
　　（6）((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p  
　　（7）交换率： (a + b) % p = (b+a) % p  
　　（8）(a * b) % p = (b * a) % p  
　　（9）分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p  
　　（10）重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)； 
　　（11）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)； 
　　（12）若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， 
　　      (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；  
　　（13）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc (%p)；

【基本应用】

1.判断素数

2.求最大公约数利用gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);(欧几里得算法与扩展欧几里得算法）

3.模幂运算

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

根据运算规则（4）a^b% p = ((a % p)^b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。
根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）=（1 * 7）（%10）= 7。

下面的结论可以得到一种更好的算法： 
　　如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]； 
　　如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]； 
　　其中[N]是指小于或等于N的最大整数。 
 下面我写出这一算法的代码：

 

int PowerMod( int x, int n, int p)
{
    if(n==0)
    return 1;
    else
    int cmp=PowerMod((x*x)%p,n/2,p);//递归调用
    if(n&1!=0)//如果是奇数则多乘以一个x
    cmp=(cmp*x)%p;
    return cmp;
}

 

4.中国剩余定理

中国剩余定理可以描述为：

若某数x分别被d1、、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn，则可表示为下式：
x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD   其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数，而且被d1除后余数为1；（称为R1相对于d1的数论倒数）

R2 是d1,d3,d4,······dn的公倍数，而且被d2除后余数为1；

…  

Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数，而且被dn除，余数为1；
D是d1、d2、…、dn的最小公倍数；R是任意整数（代表倍数），可根据实际需要决定；
且d1、、…、dn必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，…，n)都能求得.

（注：因为R1对d1求余为1，所以R1r1对d1求余为r1，这就是为什么是R1对d1求余为1的目的，其次，R2r2,R3r3…Rnrn对d1求余都是0）

对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法：

中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数，不管是不是最小的，如果不是最小的就不断减公倍数，中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加。

例如：
假设满足条件的数为：M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1：除以3余1，我们看M的第一部分和第三部分能被3整除，只要第二部分除以3余1就行了，选择b=2就满足
再满足条件2：除以5余2，考虑第三部分就行了，选择c=2就满足
最后满足条件3：除以7余3，考虑第一部分就行了，选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157，比公倍数大，减去公倍数，157-105=52是满足条件最小数

以我个人理解写成下面这个形式（以3个数为例）

X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为：

X%a = r1                     x%b = r2                     x%c = r3

bc*k1 % a = 1     ac*k3 % b = 1     ab*k3 % c = 1

所以

x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3

 下面我贴出代码：

int PowerMod( int d1, int d2, int d3，int s1,int s2,int s3)//d1,d2,d3是三个除数
{
    int r1=d2*d3,r2=d1*d3,r3=d1*d2;
    for(int i=1;1;i++)
    if((r1*i)%d1==1)
    {
        r1=r1*i;
        break;
    }
    for(int j=1;1;j++)
        if((r2*j)%d2==1)
        {
            r2=r2*j;
            break;
        }
    for(int z=1;1;z++)
    if((r3*z)%d3==1)
    {
        r3=r3*z;
        break;
    }
    cout<<r1<<' '<<r2<<' '<<r3<<endl;
    int left=(r1*s1+r2*s2+r3*s3)%LCM(r1,r2,r3);//所求数字的最小值
    return left;
}