差分约束系统求解问题(入门)
【差分约束系统的概念】
在一个差分约束系统(system of difference constraints)中,线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1,A的其他所有元素都为0。因此,由Ax≤b给出的约束条件是m个差分约束集合,其中包含n个未知量,对应的线性规划矩阵A为m行n列。每个约束条件为如下形式的简单线性不等式:xj-xi≤bk。其中1≤i,j≤n,1≤k≤m。
例如,考虑这样一个问题,寻找一个5维向量x=(xi)以满足:
这一问题等价于找出未知量xi,i=1,2,…,5,满足下列8个差分约束条件:
x1-x2≤0
x1-x5≤-1
x2-x5≤1
x3-x1≤5
x4-x1≤4
x4-x3≤-1
x5-x3≤-3
x5-x4≤-3
该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4),另一个解y=(0,2,5,4,1),这2个解是有联系的:y中的每个元素比x中相应的元素大5。
引理:设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解,d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。
约束图
在一个差分约束系统Ax≤b中,m X n的线性规划矩阵A可被看做是n顶点,m条边的图的关联矩阵。对于i=1,2,…,n,图中的每一个顶点vi对应着n个未知量的一个xi。图中的每个有向边对应着关于两个未知量的m个不等式中的一个。
给定一个差分约束系统Ax≤b,相应的约束图是一个带权有向图G=(V,E),其中V={v0,v1,…,vn},而且E={ (vi,vj) : xj-xi≤bk是一个约束}∪{ (v0,v1) , (v0,v2) , … , (v0,vn) }。引入附加顶点v0是为了保证其他每个顶点均从v0可达。因此,顶点集合V由对应于每个未知量xi的顶点vi和附加的顶点v0组成。边的集合E由对应于每个差分约束条件的边与对应于每个未知量xi的边(v0,vi)构成。如果xj-xi≤bk是一个差分约束,则边(vi,vj)的权w(vi,vj)=bk(注意i和j不能颠倒),从v0出发的每条边的权值均为0。
定理:给定一差分约束系统Ax≤b,设G=(V,E)为其相应的约束图。如果G不包含负权回路,那么x=( d(v0,v1) , d(v0,v2) , … , d(v0,vn) )是此系统的一可行解,其中d(v0,vi)是约束图中v0到vi的最短路径(i=1,2,…,n)。如果G包含负权回路,那么此系统不存在可行解。
【差分约束系统的具体应用】
差分约束主要解决形式类似的不等式组问题,它利用不等式组的外在性质,将不等式的元素转化为图里面的相应顶点,把不等式右边的值转化为相应顶点对应边的权值,进而把数学问题转化为最短路径问题。
下面我们看看实例:
比如给出三个不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我们可以把a,b,c转换成三个点,k1,k2,k3是边上的权,如图
由题我们可以得知,这个有向图中,由题b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比较k1+k2和k3的大小,求出min{k1+k2,k3}那么这就是c-a的最大值了。
根据以上的解法,我们可能会猜到求解过程实际就是求从a到c的最短路径,没错的....简单的说就是从a到c沿着某条路径后把所有权值和k求出就是c -a<=k的一个
推广的不等式约束,既然这样,满足题目的肯定是最小的k,也就是从a到c最短距离...