欧拉函数

　　本文系转载：http://www.cnblogs.com/Lyush/archive/2012/08/06/2625113.html

　　欧拉函数的作用已不用再明说什么，只是苦于数论方面的知识实在欠缺，一直搞不懂原理，先转载一篇自己慢慢斟酌，感谢网上众多大牛的分享-----

 

------------------------------转载正文----------------------------------

　　本文转自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_694034130100wlrh.html(修改了少量有误的地方)
欧拉函数：

对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

完全余数集合：
定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。

显然，对于素数p，φ(p)= p - 1.

对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)

        证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
        考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1},小于ｎ的集合共有pq-1个元素
        而不和n互质的集合由下面两个集合的并构成：
        1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
        2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个 
        很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq -1 - (p -1 + q- 1) = (p-1)(q-1)

欧拉定理：
对于互质的整数a和n，有a^φ(n)  ≡ 1 mod n

{

注：

   同余符号：　　

    两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

 

　　记作 a ≡ b (mod m)

 

　　读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。

 

　　比如 26 ≡ 14 (mod 12)

}

        证明：
        首先证明下面这个命题：
        对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合
        S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
        则S = Zn
        1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定与n互质，因此
        任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素
        2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
        则axi mod n ≠ axj mod n，这个由a、n互质和消去律可以得出。
        所以，很明显，S=Zn
       
        既然这样，那么
        （ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n
         = （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n
         = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
         考虑上面等式左边和右边
         左边等于(a^φ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n
         右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
         而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和n互质
         根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
          a^φ(n)  ≡  1 mod n

 

费马定理：
a是不能被质数p整除的正整数，则有 a^{p - 1} ≡ 1 mod p

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a mod p

 

欧拉函数公式：

 

( 1 ) p^k 的欧拉函数

对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = p^k ，

φ(n) = pk - pk -1

证明：
小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个，其中
和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个
所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。

( 2 ) p * q 的欧拉函数

假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

证明：
令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
根据中国余数定理，有
Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。）
所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。

( 3 ) 任意正整数的欧拉函数

任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为：

I
n = ∏ piki (I 为 n 的素因子的个数)
i=1

（注：∏是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于Σ，有时也用来代表圆周率值）

根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为： 
         I                      I
 Φ(n) = ∏  piki -1(p

_i 

-1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
        i=1                    i=1
对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在  p

_i 

-1 是偶数。



---------------------------下面代码非上文转载---------------------------

直接计算：

__int64 Eular(__int64 n)
{
    if(n==0) return 0;
    __int64 ans=n,ln=(__int64)sqrt(n*1.0);
    for(int i=2; i<=ln; i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/= i;
        }
    }
    if(n>1)
        ans = ans / n * (n-1);
    return ans;
}