解同余式的最小解

 

　　我们知道欧几里得扩展定理是同余方程ax≡b(mod c)解得有力方法。这个方程可能有解也可能没有解，下面给出有解的条件：

　　定理：同余方程ax≡b(mod c)有解，当且仅当gcd(a,c)|b,且方程有gcd(a,c)个解。

　　原因是求ax≡b(mod c)可以转化为求ax+cy=b。

　　令：d=gcd(a,c),  k=c/d;

　　我们可以用扩展欧几里得求出x，y值。那么方程ax≡b(mod c)的一个特解：x0=x*(b/d)%c。并且它的d个解分别为：

　　Xi=(x0+i*(k))%c，{i=0,1,2,.....d-1}。

　　方程ax≡b(mod c)的最小解为：(x0%k+k)%k。

 

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

__int64 Exgcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1, y=0;
        return a;
    }
    __int64 r = Exgcd(b, a%b, x, y);
    __int64 tp=x;
    x = y;
    y = tp-a/b*y;
    return r;
}

// ax==b(mod c)
void Liner_modu(__int64 a, __int64 b, __int64 c)
{
    __int64 x, y, ans;
    __int64 d = Exgcd(a, c, x, y);
    if(b%d)
    {
        puts("No solution");
        return;
    }
    ans = x*(b/d)%c;  //特解
    y = c / d;
    ans = (ans%y+y)%y; //最小解
    printf("%I64d\n", ans);
}
int main()
{
    __int64 a, b, c;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c))
    {
        while(a<0) a+=c;
        while(b<0) b+=c;
        Liner_modu(a, b, c);
    }
    return 0;
}