解不定方程ax+by=m的最小解
给出方程a*x+b*y=c，其中所有数均是整数，且a，b，c是已知数，求满足那个等式的x，y值？这个方程可能有解也可能没解也可能有无穷多个解（注意：这里说的解都是整数解）？
既然如此，那我们就得找出有解和无解的条件！
先给出定理：方程a*x+b*y=c有解，当且仅当 c%gcd(a，b)=0。
定理的证明很容易，如下：
证明：
若c%gcd(a，b)=0,则一定存在一个整数K，有c=K*gcd(a，b)， 而我们知道a*x+b*y=gcd(a，b)一定存在解(x1, y1)，所以就有K*(a*x1 +b*y1 ) = K*gcd(a，b)------>a*K*x1 +b*K*y1 = c，得出解为：(K*x1 , K*y1 )。定理得证。
那么在a*x+b*y=c有解的情况下如何求解呢？
由上可知，a*x+b*y=c 与 a*x+b*y=K*gcd(a,b)是等价的。另外a*x+b*y=gcd(a,b)的一组解为 x1, y1。
令a1=a/gcd(a,b), b1=b/gcd(a,b),c1=c/gcd(a,b).
综上，我们可以得出x，y的一组解就是x1*c1， y1*c1(实际上这个解我们在上面的证明定理的过程中就可以得出这组解，只是我们要的是最小解，所以在此处给出)，但是满足方程的解有无穷多个，在实际的解题中我们常常只要求其最小解。现以求x的最小解为例，至此我们已经求的一组解使得满足方程a*x+b*y=m，那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m显然也成立。可知x+n*b(n=....-2,-1,0,1,2....)就是方程x解集。存在一个k使得x+k*b>0，x的最小解就是(x+k*b)%b.若我们将方程两边同时除以gcd(a,b)，则方程变为a1*x+b1*y=c1，同上分析可知。x的最小值就是（x+k*b1）%b1，由于b1<=b，故这个值定会小于等于之前我们认为最小值。在实际求解时常用while(x<0) x+=b来使得为正的条件满足。
另外给出所有解得公式，若x0，y0是该方程的一组整数解，那么该方程的所有整数解可表示为
X = x0+b/(a,b)*t;
Y = y0-a/(a,b)*t;
代码如下：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5 6 int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) 7 { 8 if(b==0) 9 { 10 x=1, y=0; 11 return a; 12 } 13 int r = Exgcd(b, a%b, x, y); 14 int tp=x; 15 x = y; 16 y = tp-a/b*y; 17 return r; 18 } 19 20 void Liner_qu(int a, int b, int c, int d, int &x, int &y) 21 { 22 a /= d, b/= d, c /= d; 23 x *= c; // 任意一解 24 y *= c; 25 int tx = x; 26 x %= b; //最小解， 27 if(x<=0) x += (int)abs(b*1.0); //最小整数解 28 int k=(tx-x)/b; 29 y += k*a; //对应y的最小整数解 30 printf("%d %d\n", x, y); 31 } 32 33 int main() 34 { 35 int a, b, c, d, x, y; 36 while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)) 37 { 38 d = Exgcd(a, b, x, y); 39 if(a==0&&b==0&&c==0) puts("1 -1"); 40 else if((a==0&&b==0&&c) || c%d || (a&&b==0&&c==0)) 41 puts("No solution"); 42 else if(a&&b==0) 43 printf("%d %d\n",c/a, -c/a); 44 else if(a==0&&b) 45 printf("1 %d\n",c/b); 46 else 47 Liner_qu(a, b, c, d, x, y); 48 } 49 return 0; 50 }
参考资料：百度百科
http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
