最长非上升子序列的长度

 

　　最长非上升子序列问题是一个经典的DP问题。如下给出完整的问题描述：

　　给你一串序列 A₁，A₂，A₃，A₄，A₅........A_n。让你找出它的某个最长子序列 S₁，S₂，S₃，S₄.........S_m。使得 S₁<=S₂<=S₃<=S₄.........<=S_m。

从问题描述中，我们可以把 <= 换成各种其他的关系符号从而变成最长非下降子序列等，他们都只是关系描述不同，其本质都是一样的。现在，我们来只需总结一下最长非上升子序列问题即可应用到其他类型。

　　这既然是一个经典的DP问题，那么找出他的状态转移方程显然是必须的。首先，我们用dp[i]来表示 1--i 的最长非上升子序列的长度。那么dp[i]=Max(dp[j])+1，j∈[1, i-1]。显然dp[1]=1。那么去哦们只需从第二项开始遍历即可。

 

算法描述如下：

1.dp[1] = 1;

2.依此遍历整个序列，每次求出从第一项到当前项的最长子序列长度。

3.找dp数组里最大的那个就是整个序列的最长子序列长度。

 

算法复杂度为：O(n^2)

int Num[N];
int dp[N];

int Lis(int n)
{
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    int ans;
    dp[0] = 1;
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        ans = dp[i];
        for(int j=0; j<i; j++)
            if(Num[i] <= Num[j] && dp[j]>ans)
                ans = dp[j];
        dp[i] = ans+1;
    }
    ans = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        if(dp[i] > ans)
            ans = dp[i];
    return ans;
}