平面分割问题

　　

　　1. n条直线最多能将一个平面分割成多少个区域？用F(n)来表示。

　　n-1条直线能将平面分割成F(n-1)个平面。若要第n条直线分割出的平面数最多，则第n条直线应和n-1条直线都相交，且不能相交于一点。那么就会产生n-1个交点，第n条直线被n-1条直线分割成n-2条线段和2条射线。他们(线段、射线)各自将经过的区域一分为二。故增加了n-2+2个区域。

　　所以有公式：F(n)=F(n-1)+n=F(n-2)+n-1+n+2=....=n*(n+1)/2 + 1

 

　　2.n条折线最多能将平面分割成多少个区域？用F(n)表示。

　　n-1条折线最多能将平面分割成F(n-1)个区域，同样的，若要第n条折线分割出的平面数最多。第n条折线的两边应和n-1条折线----2*(n-1)条边相交于不同的点。新增的线段数为4*(n-1)，射线数为2，不过折线本身的两条线段只能增一个区域。

　　故有公式：F(n)=F(n-1)+4*(n-1)+2-1=....=2*(n-1)*n+n+1=2*n² - n + 1。

 

　　3. 封闭曲线分割问题：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

　　观察上图，我们发现F(2)-F(1)=2，F(3)-F(2)=4，F(4)-F(3)=6。即F(n)-F(n-1)=2*(n-1)。

　　证明如下：n-1条封闭曲线把平面分割为F(n-1)个区域。因为第n条封闭曲线与前n-1条封闭曲线相交产生2*(n-1)个点和2*(n-1)个线段。所以有F(n)=F(n-1)+2*(n-1)=....=n*(n-1)+2。

 

　　4. 平面分割空间问题

　　由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为F(n-1)。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。（g（n）为（1）中的直线分平面的个数 ）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g（n-1）个空间。

　　F=F(n-1)+g(n-1) =.....=(n³ + 5*n)/6 + 1    Ps: g(n)=n(n+1)/2+1