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np.fft

1. FFT 知识
2. np.fft.fft()
3. np.fft.fft2()
4. np.fft.fftfreq
5. np.fft.fftshift
6. np.fft.ifftshift

1. FFT 知识

傅里叶变换( $Fourier\ Transform,FT$ ) 是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）到频域之间的变换。

$FFT$ 变换( $Fast\ Fourier\ Transform，快速傅里叶变换$ ) 是针对一组数值进行运算，这组数的长度 $N$ 必须是 $2$ 的整数次幂，例如： $64、128、256$ 等。

数值可以是实数也可以复数，通常我们的时域信号都是实数。

对这 $N$ 个实数值进行 $FFT$ 变换，得到一个有 $N$ 个复数的数组，称此复数数组为频域信号。复数数组有如下规律：

下标为 $0$ 和 $N/2$ 的两个复数的虚数部分为 $0$ 。
下标为 $i$ 和 $N-i$ 的两个复数共轭，也就是虚数部分值相同、符号相反。

示例：以 $rand$ 随机生成实数数组 $x$ ，对其 $fft$ 变换，结果为 $8$ 个复数。

import numpy as np

x = np.random.rand(8)
print(x)

xf = np.fft.fft(x)
print(xf)

[0.66622462 0.49234934 0.40298128 0.48832192 0.76572852 0.18502897
 0.49050222 0.36262891]

[ 3.85376579+0.j          0.02892604-0.21866575j  0.53846964+0.17357253j
 -0.22793384-0.39370763j  0.79710752+0.j         -0.22793384+0.39370763j
  0.53846964-0.17357253j  0.02892604+0.21866575j]

通过 $ifft$ 变换（逆 $fft$ 变换）还原：

print(np.fft.ifft(xf))

[0.66622462+0.j 0.49234934+0.j 0.40298128+0.j 0.48832192+0.j
 0.76572852+0.j 0.18502897+0.j 0.49050222+0.j 0.36262891+0.j]

$ifft$ 运算结果实际与 $x$ 相同，由于浮点数运算误差，出现非常小的虚部。

$FFT$ 变换后复数代表什么意思？

下标为 $0$ 的实数表示时域信号中的直流成分的多少。
下标为 $i$ 的复数 $a+b*j$ 表示时域信号中周期为 $N/i$ 个取样值的正弦波和余弦波的成分的多少，其中 $a$ 表示 $cos$ 波形的成分， $b$ 表示 $sin$ 波形的成分。

示例：对直流信号进行 $FFT$ 变换。

x = np.ones(8)
print(x)

print(np.fft.fft(x) / len(x))

[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]

[1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]

所谓直流信号，就是其值不随时间变化。

为了计算各个成分的能量多少，将 $FFT$ 的结果除以长度。

示例：

① 对周期为 $8$ 个取样的正、余弦波进行 $FFT$ 变换。

x = np.arange(0, 2*np.pi, 2*np.pi/8)
y = np.sin(x)
print(np.fft.fft(y)/len(y))

z = np.cos(x)
print(np.fft.fft(z)/len(z))

[ 1.53080850e-17+0.00000000e+00j -4.30636606e-17-5.00000000e-01j
  1.53080850e-17-2.77555756e-17j  1.24474906e-17+0.00000000e+00j
  1.53080850e-17+0.00000000e+00j  1.24474906e-17+0.00000000e+00j
  1.53080850e-17+2.77555756e-17j -4.30636606e-17+5.00000000e-01j]

[-4.30636606e-17+0.00000000e+00j  5.00000000e-01-5.83717456e-17j
  1.53080850e-17+0.00000000e+00j  0.00000000e+00+2.86059436e-18j
  1.24474906e-17+0.00000000e+00j  0.00000000e+00-2.86059436e-18j
  1.53080850e-17+0.00000000e+00j  5.00000000e-01+5.83717456e-17j]

正弦波的 $FFT$ 结果：下标为 $1$ 的复数的虚部为 $-0.5$ ，产生的正弦波的放大系数（振幅）为 $1$ ，它们之间的关系是 $-0.5*(-2)=1$ 。

余弦波的 $FFT$ 结果：只有下标为 $1$ 的复数的实数部分有有效数值 $0.5$ ，和余弦波的放大系数（振幅） $1$ 之间的关系是 $0.5*2=1$ 。

② 对周期为 $4$ 个取样的正、余弦波进行 $FFT$ 变换。

print(np.fft.fft(2*np.sin(2*x))/len(x))
print(np.fft.fft(0.8*np.cos(2*x))/len(x))

[ 6.1232340e-17+0.000000e+00j  6.1232340e-17+6.123234e-17j
 -1.8369702e-16-1.000000e+00j  6.1232340e-17-6.123234e-17j
  6.1232340e-17+0.000000e+00j  6.1232340e-17+6.123234e-17j
 -1.8369702e-16+1.000000e+00j  6.1232340e-17-6.123234e-17j]

[-2.44929360e-17+0.00000000e+00j -3.46382422e-17-3.08148791e-33j
  4.00000000e-01-9.79717439e-17j  3.46382422e-17-3.08148791e-33j
  2.44929360e-17+0.00000000e+00j  3.46382422e-17+3.08148791e-33j
  4.00000000e-01+9.79717439e-17j -3.46382422e-17+3.08148791e-33j]

$FFT$ 的有效成分在下标为 $2$ 的复数中。

正弦波的 $FFT$ 结果：正弦波的放大系数（振幅）为 $2$ ，因此频域虚数部分的值为 $-1$ 。

余弦波的 $FFT$ 结果：余弦波的放大系数（振幅）为 $0.8$ ，因此其对应的值为 $0.4$ 。

同频率的正弦波和余弦波通过不同的系数叠加，可以产生同频率的各种相位的余弦波，因此我们可以这样来理解频域中的复数：

复数的模（绝对值）代表此频率的余弦波的振幅。
复数的辐角代表了此频率的余弦波的相位。

③ 最后一个例子。

x = np.arange(0, 2*np.pi, 2*np.pi/128)
y = 0.3*np.cos(x) + 0.5*np.cos(2*x+np.pi/4) + 0.8*np.cos(3*x-np.pi/3)
yf = np.fft.fft(y)/len(y)
print(yf[:4])

print(np.angle(yf[1]))

print(np.abs(yf[1]), np.rad2deg(np.angle(yf[1])))

print(np.abs(yf[2]), np.rad2deg(np.angle(yf[2])))

print(np.abs(yf[3]), np.rad2deg(np.angle(yf[3])))

[1.22514845e-17+0.00000000e+00j
 1.50000000e-01-5.20417043e-18j
 1.76776695e-01+1.76776695e-01j
 2.00000000e-01-3.46410162e-01j]

-3.469446951953613e-17

0.15000000000000005 -1.987846675914697e-15

0.2500000000000001 45.000000000000014

0.39999999999999997 -60.00000000000002

上例产生了三个不同频率的余弦波，并且给他们不同的振幅和相位：

周期为 $128/1$ 点的余弦波的相位为 $0$ ，振幅为 $0.3$
周期为 $64/2$ 点的余弦波的相位为 $45$ 度，振幅为 $0.5$
周期为 $128/3$ 点的余弦波的相位为 $-60$ 度，振幅为 $0.8$

numpy.angle(z, deg=0)：计算复数的辐角主值。

参数：

z：复数或复数组成的列表。

deg：若为 $False$ （默认），返回值是弧度值。若为 $True$ ，返回值是角度值。

返回值：

$n$ 维数组或标量。复平面上从正实半轴出发沿逆时针方向到复数所在点走过的角度。
import numpy as np
print('结果用弧度制表示：{}'.format(np.angle(1+1j)))
print('结果用角度制表示：{}'.format(np.angle(1+1j, deg=True)))
结果用弧度制表示：0.7853981633974483
结果用角度制表示：45.0

numpy.rad2deg(array, out)：将弧度转换为度。

参数：

array：要计算其度值的角度。

deg：输出数组的形状。

返回值：

返回一个数组，包含弧度对应的角度。
import numpy as np
import math

arr = [0, math.pi/2, math.pi/4, math.pi/6 ]
print ("弧度值 : \n", arr)

degval = np.rad2deg(arr)
print ("角度值 : \n", degval)
弧度值 : 
 [0, 1.5707963267948966, 0.7853981633974483, 0.5235987755982988]
角度值 : 
 [ 0. 90. 45. 30.]

2. np.fft.fft()

numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)：计算一维离散傅里叶变换。

参数：

a：输入数组。
n：输出的变换轴的长度。如果 $n$ 小于输入的长度，则裁剪输入。如果 $n$ 小于输入的长度，则用 $0$ 填充。未给出 $n$ ，则使用沿轴指定的轴的输入长度。
axis：计算 $FFT$ 的轴。如果未给出，则使用最后一个轴。
norm：标准化模式。取值为{“backward”, “ortho”, “forward”}。默认设置是backward。指示缩放前向/后向转换对应的哪个方向以及使用什么标准化因子。

返回：

截断或补零的输入，沿轴指示的轴进行转换，如果未指定轴，则为最后一个轴。

示例：

import numpy as np

t = np.arange(8) / 8
a = np.fft.fft(np.exp(2j * np.pi * t))
print(a)

[-3.44509285e-16+1.22464680e-16j  8.00000000e+00-8.11483250e-16j
  3.44509285e-16+1.22464680e-16j  0.00000000e+00+1.22464680e-16j
  9.95799250e-17+1.22464680e-16j  0.00000000e+00+7.66951701e-17j
 -9.95799250e-17+1.22464680e-16j  0.00000000e+00+1.22464680e-16j]

3. np.fft.fft2()

numpy.fft.fft2(a, s=None, axes=(- 2, - 1), norm=None)：计算二维离散傅里叶变换。

此函数通过快速傅里叶变换 ( $FFT$ ) 计算 $M$ 维数组中任意轴上的 $2$ 维离散傅里叶变换。默认情况下，变换是在输入数组的最后两个轴上计算的，即二维 $FFT$ 。

参数：

a：输入数组。
s：整数序列，可选。

输出的形状(每个变换轴的长度)( $s[0]$ 指轴 $0$ ， $s[1]$ 指轴 $1$ )。

如果 $n$ 小于输入的长度，则裁剪输入。如果 $n$ 小于输入的长度，则用 $0$ 填充。未给出 $n$ ，则使用沿轴指定的轴的输入长度。

axes：整数序列，可选。

计算 $FFT$ 的轴。如果未给出，则使用最后两个轴。

norm：标准化模式。取值为{“backward”, “ortho”, “forward”}。默认设置是backward。指示缩放前向/后向转换对应的哪个方向以及使用什么标准化因子。

返回：

截断或补零的输入，沿轴指示的轴进行转换，如果未指定轴，则为最后两个轴转换。

示例：

import numpy as np

a = np.mgrid[:5, :5][0]
print(a)
print(np.fft.fft2(a))

[[0 0 0 0 0]
 [1 1 1 1 1]
 [2 2 2 2 2]
 [3 3 3 3 3]
 [4 4 4 4 4]]

[[ 50.  +0.j           0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5+17.20477401j   0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5 +4.0614962j    0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5 -4.0614962j    0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5-17.20477401j   0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]]

4. np.fft.fftfreq

numpy.fft.fftfreq(n, d=1.0)：返回离散傅里叶变换采样频率。

参数：

n：窗口长度。
d：采样间隔。默认为 $1$ 。

返回：

长度为 $n$ 的数组，包含采样频率。

返回浮点数组f包含频率单元中心，该频率单元中心以每单位采样间隔的周期为周期（开始为 $0$ ）。例如，样本间隔为秒，则频率单位为周期/秒。

给定窗口长度n和d：

\begin{aligned} f = [0, 1, . . ., \frac{n}{2} - 1, - \frac{n}{2}, . . ., - 1] / (d * n) 如 果 n 是 偶 数 \\ f = [0, 1, . . ., \frac{n - 1}{2}, - \frac{n - 1}{2}, . . ., - 1] / (d * n) 如 果 n 是 奇 数 \end{aligned}

$\begin{aligned} & f = [0, 1, ...,\frac{n}{2}-1,-\frac{n}{2},...,-1] / (d*n) \ \ \ \ 如果n是偶数 \\ & f = [0,1,...,\frac{n-1}{2},-\frac{n-1}{2},...,-1] / (d*n) \ \ \ \ 如果n是奇数 \end{aligned}$

示例：

import numpy as np
from numpy.fft import *

signal = np.array([-2, 8, 6, 4, 1, 0, 3, 5], dtype=float)
fourier = np.fft.fft(signal)
n, timestep = signal.size, 0.1            # 窗口长度n=8，采样间隔timestep=0.1
freq = np.fft.fftfreq(n, d=timestep)
print(freq)

[ 0.    1.25  2.5   3.75 -5.   -3.75 -2.5  -1.25]

\begin{aligned} 0 = 0 \\ 1.25 = 1 / (0.1 * 8) \\ 2.5 = 2 / (0.1 * 8) \\ 3.75 = 3 / (0.1 * 8) \\ - 5 = - 4 / (0.1 * 8) \\ - 3.75 = - 3 / (0.1 * 8) \\ - 2.5 = - 2 / (0.1 * 8) \\ - 1.25 = - 1 / (0.1 * 8) \end{aligned}

$\begin{aligned} & 0 = 0 \\ & 1.25 = 1 / (0.1*8) \\ & 2.5 = 2 / (0.1*8) \\ & 3.75 = 3 / (0.1*8) \\ & -5 = -4 / (0.1*8) \\ & -3.75 = -3 / (0.1*8) \\ & -2.5 = -2 / (0.1*8) \\ & -1.25 = -1 / (0.1*8) \end{aligned}$

5. np.fft.fftshift

numpy.fft.fftshift(x, axes=None)：将零频率分量移动到频谱中心。即中心化。

参数：

x：输入数组。
d：要移动的轴。默认为无，表示移动所有轴。

返回：

移动的数组。

示例：

freqs = np.fft.fftfreq(10, 0.1)
print(freqs)

print(np.fft.fftshift(freqs))

[ 0.  1.  2.  3.  4. -5. -4. -3. -2. -1.]

[-5. -4. -3. -2. -1.  0.  1.  2.  3.  4.]

仅沿第二轴移动零频分量。

freqs = np.fft.fftfreq(9, d=1./9).reshape(3, 3)
print(freqs)
print(np.fft.fftshift(freqs))				# 沿所有轴移动零频分量
print(np.fft.fftshift(freqs, axes=(1,)))	        # 沿第二轴移动零频分量

[[ 0.  1.  2.]
 [ 3.  4. -4.]
 [-3. -2. -1.]]

[[-1. -3. -2.]
 [ 2.  0.  1.]
 [-4.  3.  4.]]

[[ 2.  0.  1.]
 [-4.  3.  4.]
 [-1. -3. -2.]]

6. np.fft.ifftshift

numpy.fft.ifftshift(x, axes=None)：去中心化。

freqs = np.fft.fftfreq(9, d=1./9).reshape(3, 3)
print(freqs)
print(np.fft.ifftshift(np.fft.fftshift(freqs)))

[[ 0.  1.  2.]
 [ 3.  4. -4.]
 [-3. -2. -1.]]

[[ 0.  1.  2.]
 [ 3.  4. -4.]
 [-3. -2. -1.]]

posted @ 2022-08-29 13:30 做梦当财神阅读(1187) 评论(0) 编辑收藏举报

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