欧几里得空间与希尔伯特空间

欧几里得空间，希尔伯特空间都属于函数空间（函数空间的元素都是由函数组成）。

函数空间的定义得从距离、范数、内积、完备性说起。

1. 距离

　　距离包括各个点之间的距离，向量之间的距离，曲线之间的距离，函数之间的距离等。

　　距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异，下面是关于距离的属性：

• 元素之间的距离大于等于 $0$，若距离等于 $0$ 则为相同元素。即 $d(X,Y) \ge 0$；$d(X,Y)=0 \Leftrightarrow X=Y$
• $A$ 到 $B$ 的距离等于 $B$ 到 $A$ 的距离。即 $d(X,Y)=d(Y,X)$
• 满足三角不等式。即 $d(X,Y) \le d(X,Z) + d(Y,Z)$

2. 范数

　　范数在距离的概念上加了零点限制条件。二维平面中范数可以看做平面中的点到零点的距离。

　　拥有距离的空间成为度量空间。拥有范数的空间称为赋范空间。赋范空间一定是度量空间。

　　总结：元素 $X$ 的范数 $||X||$ 看作 $X$ 到零点的距离。　　

3. 内积

　　内积在范数的概念上加了角度限制条件。内积空间一定是赋范空间。

　　有限维内积空间是欧几里得空间。

4. 完备性

　　集合中的元素取极限不超出此空间称其具有完备性。

　　例如：有理数组成的一个集合 $\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142...\}$，此集合极限为 $\sqrt{2}$，而 $\sqrt{2}$是无理数，不是有理数，即有理数不具备完备性。

线性完备内积空间称希尔伯特空间（不再局限于有限维，还具有完备性）。

线性完备赋范空间称作巴拿赫空间。

有限维线性内积空间称欧几里得空间。