萌新学习图的强连通（Tarjan算法）笔记

--主要摘自北京大学暑期课《ACM/ICPC竞赛训练》 

在有向图G中，如果任意两个不同顶点相互可达，则称该有向图是强连通的；

有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分支；

Tarjan算法： 

做一遍DFS，

Dfn[ i ] 表示节点i 在DFS过程中的访问序号（也可以叫做开始时间）。

Low[ i ]表示从i 节点出发DFS过程中i 下方节点（可以说是开始时间大于dfn[ i ]，且由i 可达的节点；也可以说是与i邻接的未删除的顶点）所能到达的最早的节点的开始时间。

 

DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节 点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。

 

如果发现某节点u有边连到栈里的节点v，则更新u的low 值为min(low[u],dfn[v]) ，若low[u]被更新为dfn[v],则表明目前 发现u可达的最早的节点是v.

 

对于u的子节点v，从v出发进行的DFS结束回到u 时，使得 low[u] = min(low[u],low[v])。因为u可达v, 所以v可达的最早的节点，也是u可达的。

 

如果一个节点u，从其出发进行的DFS已经全部完 成并回到u，而且此时其low值等于dfn值，则说明 u可达的所有节点，都不能到达任何比u早的节点 --- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树 中的根。

 

此时，显然栈中u上方的节点，都是不能到达比u 早的节点的。将栈中节点弹出，一直弹到u(包括u), 弹出的节点就构成了一个强连通分量.  

 

在DFS过程中会形成一棵搜索树，在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就 越小。dfn值越小的节点，就称为越“早”。

 

模拟一发：

顶点	Dfn	low	栈	强连通分量
a	1	1	a
b	2	2	b,a
c	3	3	c,b,a
e	4	4	e,c,b,a=>e的low[i]==dfn[i] 变成c,b,a	{e}
d	5	5=>2(会访问到b，low[d]=min(dfn[b],low[b])=dfn[b]=2), 然后会回溯到c（low[c]=low[d]=dfn[b]=2）,最终b的low[b]=dfn[b]，b即为根；	a	{e}, {d,c,b}
f	6	6	f,a	{e}, {d,c,b}
g	7	7=>1会访问到a，low[g]=min(dfn[a],low[g])=dfn[a]=1), 然后会回溯到f（low[f]=low[g]=dfn[a]=1）,最终a的low[a]=dfn[a]，a即为根；	空	{e}, {d,c,b} {g,f,a}

本人瞎几把说些吧。。。

在一次DFS的回溯过程中，如果发现low[i]==dfn[i]，那么当前顶点就是一个强连通分量的根。

因为如果不是强连通分量的根，那么一定属于另一个强连通分量（好像说了句废话），

而且他的根是当前顶点的祖宗，那么存在包含当前顶点的到其祖宗的回路，

可知最终该顶点v一定会在他的DFS过程中访问到他的祖宗，并且他的Low[v]会被修改成比dfn[v]更小的值，

应该就是其祖宗的dfn[root]值吧。祖宗先访问到，入栈，然后到了下面的子节点，子节点能访问到祖宗，然而他在栈里，

所以一直比较dfn[root]，而最小的值只有是dfn[root]和low[root]，所以最终root下面顶点low[i]都会等于dfn[root]。OK。

//链式前向星；
struct asd{
    int to;
    int next;
};
asd edge[N];
int tol,head[N];

int tp;                 //记录当前访问时间
int p;                  //栈容量
int dfn[N];     //表示节点i 在DFS过程中的访问序号（也可以叫做开始时间）。
int low[N];     //表示从i 节点出发DFS过程中i 下方节点所能到达的最早的节点的开始时间。
bool vis[N];    //标记是否在栈中

void tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++tp;     //初始化
    stap[++p]=u;                    //入栈
    vis[u]=1;                           //标记
    for(int v=head[u];v!=-1;v=q[v].next)
    {
        int i=q[v].to;
        if(!dfn[i])             //如果还未被访问
        {
            tarjan(i);
            low[u]=min(low[u],low[i]);
        }
        else if(vis[i])     //已被访问，且在栈中
            low[u]=min(low[u],dfn[i]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])          //如果是根节点
    {
        int temp;
        while(1)
        {
            temp=stap[p];
            vis[temp]=0;        //出栈标记；
            p--;                        
            if(temp==u)         //将该强连通分量弹出栈
                break;
        }
    }
}