Tarjan找桥和割点与点连通分量与边连通分量【未成形】
之前只学了个强连通Tarjan算法,然后又摸了缩点操作;
然后今天在lightoj摸了一道模板题,是求所有桥的题;
然后发现,要把:割点,割点集合,双连通,最小割边集合(桥),点连通分量,边连通分量都学一下。
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首先这个求割点是在无向图里面实现的(所以看到无向图有点感觉可以往这边考虑吧
先说割点,割点集合:
首先是割点这个问题啊,就是说在一个连通图里面,你删除某个点+这个点所连出去的边,图变成了不连通,就说这个点是割点,
然后呢我再说这句话就好理解了:在一个连通图中,如果有一个点集,删除这个点集+集合中所有点相关联的边,图变成了不连通,就称这个点集为割点集合。
若在连通图上至少删去k个顶点才能破坏图的连通性,则称此图的点连通度为k。
然后说桥;
类似的,如果一个边集,删除这些边(注意是要求删去边集所有边以后)以后,原图连通性被破坏,就称这个点集为割边集合。
一个图的边连通度的定义为最小割边集合中的边数。
当且仅当这个图的边连通度是1,则割边集合的唯一元素被称为桥;
//以下摘自PKU的PDF和 bin神模板
求割点
看了别人的博客:对啊,首先就是暴力一点,根据定义,我遍历所有的点,判断一下图是不是不连通了。
因为暴力所以优化啊。
在深度优先遍历整个图的过程中形成一棵搜索树(思路和有向图求强连通分量类似 ):
第一种方法:
Dfn[u]定义和Tarjan算法一样,表示编号为i的节点在DFS过程中 的访问序号(也可以叫做开始时间)。
Low[u]定义为u或者u的子树中能够通过非父子边(父子边就是搜索树上的边),追溯到的最早的节点的DFS开始时间;
一个顶点u是割点,当且仅当满足(1)或(2)
(1) 是树根(其实这个根就一个,就是最先进去的点),且u有多于一个子树。
(2) u不为树根,且存在(u,v)为树枝边(或称父子边,即u为v在搜索树中的父亲),使得dfn(u)<=low[v];
我斌模板理解:
const int N=1e4+10; const int M=2e4+10; struct Edge{ int to; int next; }; Edge q[M*2]; int head[M*2],tol,n,m; int dfn[N],low[N]; int ind,top; bool flag[N],vis[N]; void init() { tol=0; memset(head,-1,sizeof(head)); } void add(int u,int v) { q[tol].to=v; q[tol].next=head[u]; head[u]=tol++; } void Tarjan(int u,int pre) { int v; int son=0; low[u]=dfn[u]=ind++; vis[u]=true; for(int i=head[u];i!=-1;i=q[i].next) { v=q[i].to; if(v==pre) continue; if(!dfn[v]) { son++; Tarjan(v,u); low[u]=min(low[v],low[u]); if(u!=pre&&low[v]>=dfn[u])//首先不是树根,且存在(u,v)为树枝边。 flag[u]=true; } else low[u]=min(low[u],dfn[v]); } if(pre==u&&son>1)//是树根,且存在两棵子树 flag[u]=true; } void qiugedian() { //各种初始化; memset(dfn,0,sizeof(dfn)); memset(low,0,sizeof(low)); memset(flag,0,sizeof(flag)); ind=1; Tarjan(1,1); //我们随便设个1作为树根,图上任意点都行,无所谓; int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(flag[i]) ans++; }
下面还是草稿、下次更新桥。。。。
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第二种方法:
也可以先用Tajan()进行dfs算出所有点的low和dfn值,并记录dfs过程中每个点的父节点,然后再把所有点看一遍,看其low和dfn,以找出割点和桥。
找桥的时候,要注意看有没有重边。有重边,则不是桥。
const int MAXN = 10010; const int MAXM = 100010; struct Edge { int to,next; bool cut; //是否为桥的标记 } edge[MAXM]; int head[MAXN],tot; int Low[MAXN],DFN[MAXN],Stack[MAXN]; int Index,top; bool Instack[MAXN]; bool cut[MAXN]; int add_block[MAXN];//删除一个点后增加的连通块 int bridge; void addedge(int u,int v) { edge[tot].to = v; edge[tot].next = head[u]; edge[tot].cut = false; head[u] = tot++; } void Tarjan(int u,int pre) { int v; Low[u] = DFN[u] = ++Index; Stack[top++] = u; Instack[u] = true; //入栈标记 int son = 0; //对于节点u的 for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) { v = edge[i].to; if(v == pre) //如果是他的父亲节点 continue; if(!DFN[v]) { son++; Tarjan(v,u); if(Low[u] > Low[v]) Low[u] = Low[v]; //桥 //一条无向边(u,v)是桥,当且仅当(u,v)为树枝边,且满足DFN(u)<Low(v)。 if(Low[v] > DFN[u]) { bridge++; edge[i].cut = true; edge[i^1].cut = true; } //割点 //一个顶点u是割点,当且仅当满足(1)或(2) //(1) u为树根,且u有多于一个子树 //(2) u不为树根,且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边,即u为v在搜索树中的父亲),使得DFN(u)<=Low(v) if(u != pre && Low[v] >= DFN[u])//不是树根 { cut[u] = true; add_block[u]++; } } else if( Low[u] > DFN[v]) Low[u] = DFN[v]; } //树根,分支数大于1 if(u == pre && son > 1) cut[u] = true; if(u == pre) add_block[u] = son - 1; Instack[u] = false; top--; }