细剖最短路【闲谈，权当是饭后杂文】

                            细剖最短路

我想这篇细剖最短路都是站在巨人的肩膀上说话的，所以我觉得通过此篇文章就想要提高自己对最短路算法的认识，还是不要抱太大希望（这几句向雨巨学习…）。写给自己，饭后杂文。

我想最开始还是，再去看看最短路算法原理吧
弱经常用的就是…spfa，而且各种切最短路（水题），噗，是啊，只能切最水的水题。然后真是挂了。PTA基础最短路挂，二级最短路挂，最短路转化挂…挂太多了…我也不是很想去挂了…

先讲spfa吧；
1. spfa为什么好？哪一点最好…在负权边，这时类似Dijkstra算法等便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图，可以判断负环）。
2. spfa的证明（重要）：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
3. 复杂度： O(km) m为边数 k一般为2或3,最坏情况下会退化到O(n2)在SPFA的论文中，证明是非常不严谨甚至错误的，事实上在bellman算法的论文中已有这方面的内容，所以国际上一般不承认SPFA算法。
这种东西为什么容易挂呢，就是不稳定。。。在切水题的时候随便high，还有切非常爆炸大的图里面，用spfa。
实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。

Dijkstra算法：
这是自己最不想用的算法，所以这个排斥，bellman太垃圾，就不由自主喜欢spfa了。今天摸起dij还真是有点感慨啊。对这个算法提出者郑重道歉，实在是瞎了*眼。(qaq).

算法思想：
将图G中所有顶点V分为两个顶点集合Va和Vb。如果源点S到u的最短路径已经确定，则点u属于集合Va, 否则就是Vb。最开始的时候只有源点属于Va，其余为Vb。算法结束的时候不要觉得所有的点都属于Va，懂得话其实都知道与源点相连的属于Va，其余属于Vb。可以在求最短路径的时候顺便记录最短路径…这个也是我要在后面说的…其实这两个算法思想讲完，基本上后面的都是小儿科，都是在思想上的延伸qaq…
算法效率：O(n^2).或者加个优先队列优化一下，这样只要图不是特别大就无敌了吧。其实无敌的是自己。。。真的。。。接下来的在算法里面的操作才是自己无敌，真无敌。

补几个基础题
Hdoj3790
题意:
给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s终点t，要求输出起点到终点的最短距离及其花费，如果最短距离有多条路线，则输出花费最少的。
思路：
只是要注意每条边都有距离和花费两种权，当且仅当两条边的距离相等时才比较花费。因为需要考虑两种权，所以算法代码只要改变一点点就好了。（这题还有重边，题目没有重边就是有重边）。
【不贴代码，自己思考啊，思考的魅力是无穷的（站着可以思考，坐着可以思考，睡觉更加可以思考了）】

然后举个伪反例（主要是题目意思和目的本来就是不同的）。
题意：
给出n个城市，然后给出m条单向路，给出了每条路的距离和花费，问一个人有k coins，在不超过money的情况下从1到n最短路径路径。
思路：
我相信很多人在上面那道题的影响下，肯定会想想，在保证最短路的前提下维护下最小花费？还是保证最小花费下维护一个最短路？这样两个想法的bug都非常明显啊。第一个，那是大错特错了，人家首要给你的条件满足<=k，你还抱住最短路长度不放，给你wa是同情。第二个，有个bug就是他是最小花费，可能存在一条路的花费大于最小花费但是他的路长度才是最短路，给你wa也不冤啊。
正解：
把满足<=k的那些点扔进优先队列里去，他们都可能是最短路的组成成份啊，出队去松弛一下，不断的进队出队。然后优先队列保证的是当花费不超过k的情况下优先让距离最近的点出队，可以避免上面“花费较大但是是最短路”的现象，这样优先的话，嗯，对吧qaq，不想解释了。然后这波操作看起来很简单的，但是真要动起来，对于萌新来说还是比较困难的。

插一句：本来最短路的思想就是贪心（还是DP）的嘛。

最短路记录路径：
Hdoj1385；
还是在最短路里面操作。
应该是开一个数组记录一下，在更新的时候记录。用一个pre数组记录路径。pre[i][j] 代表从起点i到终点j的最开始遇到的点。初始化pre[i][j]为j，然后在最短路更新的时候更新这个pre数组。

二级最短路：
（其实我也不是很懂为什么叫二级最短路，我觉得应该叫最短路拓展，嘻嘻~）
强行加一篇：http://www.wonter.net/?p=205 (wonter巨不会怪我吧)
比如求一个最短路径的最少数量或者最长数量，可以手动多加一个权值，每条有的边就是1，然后更新的时候更新，还有就是有种情况是等于的时候，就是有多种方式达到这个点，但是你要记录的是较小/大的那个。Hdoj3790也是这个道理。