终于理解了方向导数与梯度

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0.渊源

第一次接触方向导数与梯度的概念，是在大学的高等数学课堂上，当时对于这部分内容是似懂非懂的。

巧合的是，后来在参加硕士复试的时候，有位老师提问我对方向导数与梯度的理解，当时我只记得一句话：梯度是方向导数变化最大的方向。虽然后来这位老师成了我的导师，但是现在想来依然觉得惭愧，因为我对这两个名词完全没有理解。

后来学习到BP神经网络，也手动推导过根据梯度下降法得到的权值更新公式，但方向导数的定义一直是我的心结。今天终于花了时间将这个简单的问题弄明白，特地记录下来，以警示自己在将来的科研道路上要脚踏实地，不可浮于表面！

1.方向导数

• 方向导数的本质是一个数值，简单来说其定义为：

一个函数沿指定方向的变化率。

因此，构建方向导数需要有两个元素：

1)      函数

2)      指定方向

当然，与普通函数的导数类似，方向导数也不是百分之百存在的，需要函数满足在某点处可微，才能计算出该函数在该点的方向导数。

至于其物理含义，这里采用最常用的下山图来表示。

 

 简单将上图看作是一座山的模型，我们处在山上的某一点处，需要走到山下。理论上来说，这座山的表面是可以通过一个函数的描述的（虽然想要找到这个函数可能很难），而这个函数可以在不同的方向上都确定出一个方向导数，这就好比于如果我们想下山，道路并不是唯一的，而是可以沿任何方向移动。区别在于有些方向可以让我们下山速度更快，有些方向让我们下山速度更慢，有些方向甚至引导我们往山顶走（也可以理解为下山速度时负的）。在这里，速度的值就是方向导数的直观理解。

2.梯度

• 梯度与方向导数是有本质区别的，梯度其实是一个向量，其定义为：

一个函数对于其自变量分别求偏导数，这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。

在很多资料中可以看到如下的梯度定义方法：

 

 

 

诚然，这种定义方法更加权威，但是却不够直观，这也是为什么我在高等数学课堂上学习梯度概念时感觉云里雾里。这种定义方法只针对二元函数，所以公式中的i，j可分别表示为函数在x和y方向上的单位向量，这样的描述可以让我们更好理解（因为人类大脑可以比较轻松的理解三维世界的模型图），但是一旦到了更高维度的世界，单纯靠这个公式就不容易理解了。

3.梯度与方向导数的关系

• 梯度与方向导数的关系应该如何描述呢？

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

以上描述非常好理解，那如何证明呢？

 

 

说实话，我觉得以上证明过程很抽象，但这就是数学，而我们要做的就是从这些抽象中来理解问题的实质。

依然采用下山的例子来解释。我们想要走到山下，道路有千万条，但总有一条可以让我们以最快的速度下山。当然，这里的最快速度仅仅作用在当前的位置点上，也就是说在当前位置A我们选择一个方向往山下走，走了一步之后到达了另外一个位置B，然后我们在B位置计算梯度方向，并沿该方向到达位置处c，重复这个过程一直到终点。但是，如果我们把走的每一步连接起来构成下山的完整路线，这条路线可能并不是下山的最快最优路线。

原因是什么？可以用一句古诗来解释：“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”因为我们在山上的时候是不知道山的具体形状的，因此无法找到一条全局最优路线。那我们只能关注脚下的路，将每一步走好，这就是梯度下降法的原理。